2023-03-28
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2023-03-27
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一. 本周教學(xué)內(nèi)容：列方程解應(yīng)用題，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。許多實際問題都?xì)w結(jié)為解一種方程或方程組，所以列出方程或方程組解應(yīng)用題是數(shù)學(xué)聯(lián)系實際，解決實際問題的一個重要方面；同時通過列方程解應(yīng)用題，可以培養(yǎng)我們分析問題，解決問題的能力。因此我們要努力學(xué)好這部分 知識。
列方程解應(yīng)用題的主要步驟：
1. 認(rèn)真審題，理解題意，弄清題目中的數(shù)量關(guān)系，找出其中的等量關(guān)系；
2. 用字母表示題目中的未知數(shù)，并用這個字母和已知數(shù)一起組成表示各數(shù)量關(guān)系的代數(shù)式；
3. 利用這些代數(shù)式列出反映某個等量關(guān)系的方程（注意所使用的單位一定要統(tǒng)一）；
4. 求出所列方程的解；
5. 檢驗所求的解是否使方程成立，又能使應(yīng)用題有意義，并寫出答案。
【學(xué)習(xí)提示】
一. 數(shù)字問題：
（1）要搞清楚數(shù)的表示方法：一個三位數(shù)的百位數(shù)字為a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字為c（其中a、b、c均為整數(shù)，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）則這個三位數(shù)表示為：100a＋10b＋c。
（2）數(shù)字問題中一些表示：兩個連續(xù)整數(shù)之間的關(guān)系，較大的比較小的大1；偶數(shù)用2N表示，連續(xù)的偶數(shù)用2N＋2或2N—2表示；奇數(shù)用2N＋1或2N—1表示。
例1. 一個三位數(shù)，三個數(shù)位上的數(shù)字之和是17，百位上的數(shù)比十位上的數(shù)大7，個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的3倍，求這個三位數(shù)
[分析]由已知條件給出了百位和個位上的數(shù)的關(guān)系，若設(shè)十位上的數(shù)為x，則百位上的數(shù)為X＋7，個位上的數(shù)是3X，等量關(guān)系為三個數(shù)位上的數(shù)字和為17。
解：設(shè)這個三位數(shù)十位上的數(shù)為X，則百位上的數(shù)為X＋7，個位上的數(shù)是3X
X＋X＋7＋3X＝17 解得X＝2
X＋7＝9，3X＝6 答：這個三位數(shù)是926
例2. 一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的2倍，如果把十 位與個位上的數(shù)對調(diào)，那么所得的兩位數(shù)比原兩位數(shù)大36，求原來的兩位數(shù)
等量關(guān)系：原兩位數(shù)＋36＝對調(diào)后新兩位數(shù)
解：設(shè)十位上的數(shù)字X，則個位上的數(shù)是2X，
10×2X＋X＝（10X＋2X）＋36解得X＝4，2X＝8，答：原來的兩位數(shù)是48。
二. 工程問題：
工程問題中的三個量及其關(guān)系為：工作總量＝工作效率×工作時間
經(jīng)常在題目中未給出工作總量時，設(shè)工作總量為單位1。
例3. 一件工作，甲獨(dú)作10天完成，乙獨(dú)作8天完成，兩人合作幾天完成？
[分析]甲獨(dú)作10天完成，說明的他的工作效率是1/10，乙的工作效率是1/8
等量關(guān)系是：甲乙合作的效率×合作的時間＝1
解：設(shè)合作X天完成 （1/10＋1/8）X＝1 解得X＝40/9
答：兩人合作40/9天完成
例4. 一件工程，甲獨(dú)做需15天完成，乙獨(dú)做需12天完成，現(xiàn)先由甲、乙合作3天后，甲有其他任務(wù)，剩下工程由乙單獨(dú)完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？
[分析]設(shè)工程總量為單位1，等量關(guān)系為：甲完成工作量＋乙完成工作量＝工作總量。
解：設(shè)乙還需x天完成全部工程，設(shè)工作總量為單位1，由題意得，( ＋ )×3＋ ＝1， 解這個方程， ＋ ＋ ＝1
12＋15＋5x＝60 5x＝33 ∴ x＝ ＝6
答：乙還需6 天才能完成全部工程。
例5. 一個蓄水池有甲、乙兩個進(jìn)水管和一個丙排水管，單獨(dú)開甲管6小時可注滿水池；單獨(dú)開乙管8小時可注滿水池，單獨(dú)開丙管9小時可將滿池水排空，若先將甲、乙管同時開放2小時，然后打開丙管，問打開丙管后幾小時可注滿水池？
[分析]等量關(guān)系為：甲注水量＋乙注水量－丙排水量＝1。
解：設(shè)打開丙管后x小時可注滿水池，
由題意得，( ＋ )(x＋2)－ ＝1
解這個方程， (x＋2)－ ＝1
21x＋42－8x＝72
13x＝30
∴ x＝ ＝2
答：打開丙管后2 小時可注滿水池。
三. 行程問題：
[解題指導(dǎo)]
（1）行程問題中的三個基本量及其關(guān)系： 路程＝速度×?xí)r間。
?。?）基本類型有
1）相遇問題；
2）追及問題；常見的還有：相背而行；行船問題；環(huán)形跑道問題。
?。?）解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，一般情況下問題就能迎刃而解。并且還常常借助畫草圖來分析，理解行程問題。
例6. 甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時行90公里，一列快車從乙站開出，每小時行140公里。
?。?）慢車先開出1小時，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時后兩車相遇？
?。?）兩車同時開出，相背而行多少小時后兩車相距600公里？
（3）兩車同時開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時后快車與慢車相距600公里？
?。?）兩車同時開出同向而行，快車在慢車的后面，多少小時后快車追上慢車？
?。?）慢車開出1小時后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時追上慢車？
此題 關(guān)鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義，弄清行駛過程。故可結(jié)合圖形分析。
（1）分析：相遇問題，畫圖表示為：
等量關(guān)系是：慢車走的路程＋快車走的路程＝480公里?！ ?br>解：設(shè)快車開出x小時后兩車相遇，由題意得，140x＋90(x＋1)＝480
解這個方程，230x＝390
∴ x＝1
答：快車開出1 小時兩車相遇
分析：相背而行，畫圖表示為：
等量關(guān)系是：兩車所走的路程和＋480公里＝600公里。
解：設(shè)x小時后兩車相距600公里，
由題意得，(140＋90)x＋480＝600解這個方程，230x＝120
∴ x＝
答： 小時后兩車相距600公里。
?。?）分析：等量關(guān)系為：快車所走路程－慢車所走路程＋480公里＝600公里。
解：設(shè)x小時后兩車相距600公里，由題意得，(140－90)x＋480＝600 50x＝120
∴ x＝2.4
答：2.4小時后兩車相距600公里。
分析：追及問題，畫圖表示為：
等量關(guān)系為：快車的路程＝慢車走的路程＋480公里。
解：設(shè)x小時后快車追上慢車。
由題意得，140x＝90x＋480
解這個方程，50x＝480 ∴ x＝9.6
答：9.6小時后快車追上慢車。
分析：追及問題，等量關(guān)系為：快車的路程＝慢車走的路程＋480公里。
解：設(shè)快車開出x小時后追上慢車。由題意得，140x＝90(x＋1)＋480 50x＝570 ∴ x＝11.4
答：快車開出11.4小時后追上慢車。
例7. 甲乙兩人在同一道路上從相距5千米的A、B兩地同向而行，甲的速度為5千米/小時，乙的速度為3千米/小時，甲帶著一只狗，當(dāng)甲追乙時，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反復(fù)，直至甲追上乙為止，已知狗的速度為 15千米/小時，求此過程中，狗跑的總路程是多少？
[分析]]追擊問題，不能直接求出狗的總路程，但間接的問題轉(zhuǎn)化成甲乙兩 人的追擊問題。狗跑的總路程＝它的速度×?xí)r間，而它用的總時間就是甲追上乙的時間
解：設(shè)甲用X小時追上乙，根據(jù)題意列方程
5X＝3X＋5 解得X＝2.5，狗的總路程：15×2.5＝37.5
答：狗的總路程是37.5千米。
例8. 某船從A地順流而下到達(dá)B地，然后逆流返回，到達(dá)A、B兩地之間的C地，一共航行了7小時，已知此船在靜水中的速度為8千米/時，水流速度為2千米/時。A、C兩地之間的路程為10千米，求A、B兩地之間的路程。
[分析]這屬于行船問題，這類問題中要弄清：
（1）順?biāo)俣龋酱陟o水中的速度＋水流速度；
（2）逆水速度＝船在靜水中的速度－水流速度。相等關(guān)系為：順流航行的時間＋逆流航行的時間＝7小時。
解：設(shè)A、B兩碼頭之間的航程為x千米，則B、C間的航程為(x－10)千米，
由題意得，X/（8＋2） ＋（X－10）/（8－2）＝7
解這個方程，X/10 ＋（X－10）/6＝7， ∴ x＝32.5
答：A、B兩地之間的路程為32.5千米。
四. 利潤贏虧問題
1）銷售問題中常出現(xiàn)的量有：進(jìn)價、售價、標(biāo)價、利潤等
2）有關(guān)關(guān)系式：
商品利潤＝商品售價—商品進(jìn)價＝商品標(biāo)價×折扣率—商品進(jìn)價
商品利潤率＝商品利潤/商品進(jìn)價
商品售價＝商品標(biāo)價×折扣率
例9. 某商店開張，為了吸引顧客，所有商品一律按八折優(yōu)惠出售，已知某種皮鞋進(jìn)價60元一雙，八折出售后商家獲利潤率為40%，問這種皮鞋標(biāo)價是多少元？優(yōu)惠價是多少元？
[分析]通過列表分析已知條件，找到等量關(guān)系式進(jìn)價 折扣率 標(biāo)價 優(yōu)惠價 利潤率
60元 8折 x元 80%x 40%
等量關(guān)系：商品利潤率＝商品利潤/商品進(jìn)價
解：設(shè)標(biāo)價是x元，
解之：x＝105
優(yōu)惠價為80%x＝ （元）
例10. 一家商店將某種服裝按進(jìn)價提高40%后標(biāo)價，又以8折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲利15元，這種服裝每件的進(jìn)價是多少？
[分析]探究題目中隱含的條件是關(guān)鍵，可直接設(shè)出成本為X元
進(jìn)價 折扣率 標(biāo)價 優(yōu)惠價 利潤
X元 8折 （1＋40%）X元 80%（1＋40%）X 15元
等量關(guān)系：（利潤＝折扣后價格—進(jìn)價）折扣后價格－進(jìn)價＝15
解：設(shè)進(jìn)價為X元，80%X（1＋40%）—X＝15，X＝125
答：進(jìn)價是125元。
五. 儲蓄問題
1）顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率。利息的20%付利息稅
2）利息＝本金×利率×期數(shù)
本息和＝本金＋利息
利息稅＝利息×稅率（20%）
例11. 某同學(xué)把250元錢存入銀行，整存整取，存期為半年。半年后共得本息和252.7元，求銀行半年期的年利率是多少？（不計利息稅）
[分析]等量關(guān)系 ：本息和＝本金×（1＋利率）
解：設(shè)半年期的實際利率為X，
250（1＋X）＝252.7
X＝0.0108
所以年利率為0.0 108×2＝0.0216
答：銀行的年利率是2.16%
例12. 為了準(zhǔn)備6年后小明上大學(xué)的學(xué)費(fèi)20000元，他的父親現(xiàn)在就參加了教育儲蓄，下面有三種教育儲蓄方式：
1）直接存入一個6年期；
2）先存入一個三年期，3年后將本息和自動轉(zhuǎn)存一個三年期；
3）先存入一個一年期的，后將本息和自動轉(zhuǎn)存下一個一年期；你認(rèn)為哪種教育儲蓄方式開始存入的本金比較少？
[分析]這種比較幾種方案哪種合理的題目，我們可以分別計算出每種教育儲蓄的本金是多少，再進(jìn)行比較。
解：1）設(shè)存入一個6年的本金是X元
X（1＋6×2.88%）＝20000，
X＝17053
2）設(shè)存入兩個三年期開始的本金為Y元，
Y（1＋2.7%×3）（1＋2.7%×3）＝20000，X＝17115
3）設(shè)存入一年期本金為Z元 ，
Z（1＋2.25%）6＝20000，Z＝17894
所以存入一個6年期的本金最少。
六. 日歷中的方程
例13. 1）在一份日歷中，任意框出一個豎列上相鄰的四個數(shù)，觀察他們之間是什么關(guān)系？如果框出的四個數(shù)的和為58，這四天分別是幾號？
2）如果用一個正方形所圈出的4個數(shù)的和為76，這四天分別是幾號？
[分析]觀察、分析四個數(shù)的關(guān)系，設(shè)法用一個未知數(shù)圈出的四個數(shù)
解：1）設(shè)豎列的四個數(shù)中最小的一個是X，其余三數(shù)分別為X＋7，X＋14，X＋21
X＋X＋7＋X＋14＋X＋21＝58，X＝4。所以這四個數(shù)是4號，11號，18號，25號
2）設(shè)四個數(shù)中的一個數(shù)Y，其余三個 數(shù)是Y—1，Y—7，Y—8
Y＋Y－1＋Y－7＋Y－8＝76，Y＝23，所以這四個數(shù)是15、16、22、23
注意：雖然我們分了幾種類型對應(yīng)用題進(jìn)行了研究，但實際生活中的問題是千變?nèi)f化的，遠(yuǎn)不止這幾類問題。因此我們要想學(xué)好列方程解應(yīng)用題，就要學(xué)會觀察事物，關(guān)心日常生產(chǎn)生活中的各種問題，如市場經(jīng)濟(jì)問題等等，要會具體情況具體分析，靈活運(yùn)用所學(xué)知識，認(rèn)真審題，適當(dāng)設(shè)元，尋找等量關(guān)系，從而列出方程，解出方程，使問題得解。
【模擬試題】（答題時間：40分鐘）
1. 一個三位數(shù)，它的個位上的數(shù)比百位上的數(shù)的3倍大1，它的十位上的數(shù)比百位上的數(shù)的4倍小3，如果把這個三位數(shù)的十位上的數(shù)與百位上的數(shù)對換，得到的三位數(shù)比原來的三位數(shù)大270，求原來的三位數(shù)。
2. 一個四位數(shù)，左邊第一位數(shù)字是7，若把這個數(shù)字調(diào)到末位，得到的新數(shù)比原來四位數(shù)少864，求原來的數(shù)。
3. 一件工作，甲獨(dú)作20小時完成，乙獨(dú)作12小時完成，現(xiàn)在先由甲獨(dú)作4小時，剩下的部分由甲乙合作，剩下的部分需幾小時完成？
4. 一輪船從重慶到上海要5晝夜，而從上海到重慶要7個晝夜，那么有一竹排從重慶順流漂到上海要多少天？
5. 一個水池共有A、B兩個進(jìn)水管和一個排水管C，單開A管6小時注滿水池，單開B管10小時注滿全池，單開C管9小時把水池中的水排完。若先同時打開A、B兩管，向空池內(nèi)注水，2.5小時后，打開C管，則打開C管幾小時后可 將水池中注滿水？
設(shè)X小時以后可以注滿，
6. 甲乙兩站之間的路程為450千米，一列慢車從甲站開出，每小時行駛65千米，一列快車從乙站開出，每小時行駛85千米
（1）兩車同時開出相向而行，幾小時相遇？
（2）快車先開出30分鐘后，兩車相向而行，慢車行駛幾小時兩車相遇？
7. A、B兩地的路程為100千米，小王騎車從A地到B地，小李跑步從B地到A地，小李出發(fā)三個半小時后，小王才出發(fā)，已知小王騎車的速度為10千米/小時，小李跑步的速度為8千米/小時，問兩人各走幾小時相遇？
8. 一隊學(xué)生去校外郊游，以5千米/小時的速度行進(jìn)，走了18分后學(xué)校將一重要通知傳給隊長，通訊員從學(xué)校出發(fā)，騎車以14千米/小時的速度按原路追上去，幾小時可以追上隊伍？
9. 一列快車長200米，速度為50千米/小時，一列慢車長250米，速度為30千米/小時，兩車從相遇到分開共需幾秒？
10. 某商店開張，為了吸引顧客，所有商品一律按8折優(yōu)惠 出售，已知某種皮鞋進(jìn)價是60元，8折以后商家仍獲利利潤率為40%，這雙皮鞋的標(biāo)價是多少？優(yōu)惠價是多少？
11. 某商店先在甲地以每件15元的價格購進(jìn)商品10件，后來又以每件12.5元的價格在乙地購進(jìn)同樣的商品40件，如果商店銷售這些商品時，獲得12%利潤率，商品售價應(yīng)定為多少元？
12. 商品的進(jìn)價為200元，標(biāo)價為300元，折價銷售時的利潤率為5%，商品打了幾折？
13. 一年定期的存款月利率是0.945%，現(xiàn)存入100元，求明年的今日得到的本息和。
14. 某文藝團(tuán)體為“希望工程”募捐組織了一場義演，共售出1000張票，募得票款6950元，成人票每張8元，學(xué)生票每張5元，問成人票和學(xué)生票各賣了多少張？
希望工程委員會決定把募捐款作為助學(xué)金發(fā)給山區(qū)的65名學(xué)生，其中每個初中生的助學(xué)金是150元，每個小學(xué)生的助學(xué)金為80元，問發(fā)給初中生和小學(xué)生各多少人？
15. 將若干支鉛筆分給幾個同學(xué)，若每人5支還剩3支；若每人7支還差5支，問有多少學(xué)生，有多少鉛筆？
16. 有一些分別標(biāo)有3、6、9、12…的卡片，后一張卡片上的數(shù)比前一張卡片上的數(shù)大3，小明拿到了相鄰的3張卡片，且這些卡片上的數(shù)字之和是342，
（1）小明拿到了 哪三張卡片？
（2）小明拿到相鄰的3張卡片上的數(shù)字和能是95嗎？
17. 在3點(diǎn)鐘和4點(diǎn)鐘之間，時鐘上的分針和時針什么時候重合？
18. 某廠第一月和第二月共生產(chǎn)化肥848噸，已知增長率為12%，求一月的產(chǎn)量是多少噸？
【試題答案】
1. 設(shè)百 位上的數(shù)字為X，257
2. 設(shè)后三個數(shù)字組成的三位數(shù)X，7681
3. 設(shè) X小時完成 ，6小時
4. 設(shè)竹排靜水中的速度為A，水流速度為B，則
A＋B＝1/5，A－B＝1/7，解得A＝1/35，再用1/（1/35）＝35小時
5. 設(shè)X小時以后可以注滿，（2.5/6）＋（2.5/10）＋X/6＋X/10－X/9＝1 X＝15/7
6. （1）設(shè)X小時相遇，65X＋85X＝450，X＝3
（2）設(shè)X小時，65X＋85×0.5＋85X＝450，X＝163/20
7. 設(shè)小王出發(fā)X小時后相遇，10X＋8（X＋3.5）＝100 X＝4
8.設(shè)X小時追上，14X＝5×0.3＋5X，X＝1/6
9.設(shè)X秒，50X＋3 0X＝200＋250，X＝45/8
10. 105元，84元
11.設(shè)售價X元，X（10＋40）＝（15×10＋12.5×40）（1＋12%），X＝14.56
12. 7折
13. 111.34元
14.成人票650張，學(xué)生票350張，初中生有25人，小學(xué)生有40人
15.有學(xué)生4人，鉛筆23支
16.（1）小明拿到了111，114，117
（2）X＝95/3，小明不可能拿到這樣的三張
17.分析：這個問題可以看作是環(huán)形跑道問題，把一圈看作是60個單位長度，分針與時針相距15個單位長度，時針在前，分針在后，時針每分鐘走 個單位長，分針每分鐘走一個單位長，兩針同向而行，何時分針追上時針。
解：設(shè)在3點(diǎn)過x分鐘后，兩針重合，
由題意得：x－ x＝15
解這個方程得：x＝16
答：兩針在3點(diǎn)過16 分時重合。
18. 解：設(shè)一月的產(chǎn)量是x噸，由題意得
x＋(1＋12%)x＝848
2.12x＝848 x＝400
答：一月的產(chǎn)量是400噸。
【勵志故事】
永遠(yuǎn)做一個勤奮的人
在美國，有一個人在一年之中的每一天里，幾乎都做著同一件事：天剛放亮，就伏在打字機(jī)前開始一天的寫作。這個男人名叫斯蒂芬•金，是國際上的小說大師。
斯蒂芬•金的經(jīng)歷十分坎坷，他曾經(jīng)潦倒得連電話費(fèi)都交不出，電話公司因此而掐斷了他的電話線。后來，他成了世界上的恐怖小說大師，整天稿約不斷，常常是一部小說還在他的大腦中儲存著，出版社高額的定金就支付給了他。如今，他算是世界大富翁了，可他仍然是在勤奮的創(chuàng)作中度過的。
斯蒂芬•金的秘訣很簡單，只有兩個字：勤奮。一年之中，他只有三天時間是例外的，不寫作。這三天是：生日，圣誕節(jié)，美國獨(dú)立日（國慶節(jié)）。勤奮給他帶來的好處是，永不枯竭的靈感。學(xué)術(shù)大師季羨林老先生曾經(jīng)說過：“勤奮出靈感?！?/p>