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　　《義務教育數(shù)學課程標準》2018最新修訂版

　　第一部分 前言

　　數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學。數(shù)學與人類發(fā)展和社會進步息息相關，隨著現(xiàn)代信息技術的飛速發(fā)展，數(shù)學更加廣泛應用于社會生產(chǎn)和日常生活的各個方面。數(shù)學作為對于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具，不僅是自然科學和技術科學的基礎，而且在人文科學與社會科學中發(fā)揮著越來越大的作用。特別是20世紀中葉以來，數(shù)學與計算機技術的結合在許多方面直接為社會創(chuàng)造價值，推動著社會生產(chǎn)力的發(fā)展。

　　數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應該具備的基本素養(yǎng)。作為促進學生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數(shù)學教育既要使學生掌握現(xiàn)代生活和學習中所需要的數(shù)學知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用。

　　一、課程性質(zhì)

　　義務教育階段的數(shù)學課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎課程，具有基礎性、普及性和發(fā)展性。數(shù)學課程能使學生掌握必備的基礎知識和基本技能，培養(yǎng)學生的抽象思維和推理能力;培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力;促進學生在情感、態(tài)度與價值觀等方面的發(fā)展。義務教育的數(shù)學課程能為學生未來生活、工作和學習奠定重要的基礎。

　　二、課程基本理念

　　1.數(shù)學課程應致力于實現(xiàn)義務教育階段的培養(yǎng)目標，要面向全體學生，適應學生個性發(fā)展的需要，使得：人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。

　　2.課程內(nèi)容要反映社會的需要、數(shù)學的特點，要符合學生的認知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學的結果，也包括數(shù)學結果的形成過程和蘊涵的數(shù)學思想方法。課程內(nèi)容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索。課程內(nèi)容的組織要重視過程，處理好過程與結果的關系;要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系;要重視直接經(jīng)驗，處理好直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗的關系。課程內(nèi)容的呈現(xiàn)應注意層次性和多樣性。

　　3.教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程。有效的教學活動是學生學與教師教的統(tǒng)一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。

　　數(shù)學教學活動，特別是課堂教學應激發(fā)學生興趣，調(diào)動學生積極性，引發(fā)學生的數(shù)學思考，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維;要注重培養(yǎng)學生良好的數(shù)學學習習慣，使學生掌握恰當?shù)臄?shù)學學習方法。

　　學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數(shù)學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。

　　教師教學應該以學生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎，面向全體學生，注重啟發(fā)式和因材施教。教師要發(fā)揮主導作用，處理好講授與學生自主學習的關系，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能，體會和運用數(shù)學思想與方法，獲得基本的數(shù)學活動經(jīng)驗。

　　4.學習評價的主要目的是為了全面了解學生數(shù)學學習的過程和結果，激勵學生學習和改進教師教學。應建立目標多元、方法多樣的評價體系。評價既要關注學生學習的結果，也要重視學習的過程;既要關注學生數(shù)學學習的水平，也要重視學生在數(shù)學活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學生認識自我、建立信心。

　　5.信息技術的發(fā)展對數(shù)學教育的價值、目標、內(nèi)容以及教學方式產(chǎn)生了很大的影響。數(shù)學課程的設計與實施應根據(jù)實際情況合理地運用現(xiàn)代信息技術，要注意信息技術與課程內(nèi)容的整合，注重實效。要充分考慮信息技術對數(shù)學學習內(nèi)容和方式的影響，開發(fā)并向學生提供豐富的學習資源，把現(xiàn)代信息技術作為學生學習數(shù)學和解決問題的有力工具，有效地改進教與學的方式，使學生樂意并有可能投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學活動中去。

　　三、課程設計思路

　　義務教育階段數(shù)學課程的設計，充分考慮本階段學生數(shù)學學習的特點，符合學生的認知規(guī)律和心理特征，有利于激發(fā)學生的學習興趣，引發(fā)學生的數(shù)學思考;充分考慮數(shù)學本身的特點，體現(xiàn)數(shù)學的實質(zhì);在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學結果的同時，重視學生已有的經(jīng)驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構建數(shù)學模型、尋求結果、解決問題的過程。

　　按以上思路具體設計如下。

　　(一) 學段劃分

　　為了體現(xiàn)義務教育數(shù)學課程的整體性，本標準統(tǒng)籌考慮九年的課程內(nèi)容。同時，根據(jù)學生發(fā)展的生理和心理特征，將九年的學習時間劃分為三個學段：第一學段(1~3年級)、第二學段(4~6年級)、第三學段(7~9年級)。

　　(二) 課程目標

　　義務教育階段數(shù)學課程目標分為總目標和學段目標，從知識技能、數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度等四個方面加以闡述。

　　數(shù)學課程目標包括結果目標和過程目標。結果目標使用“了解”“理解”“掌握”“運用”等行為動詞表述，過程目標使用“經(jīng)歷”“體驗”“探索”等行為動詞表述(行為動詞解釋見附錄1)。

　　(三) 課程內(nèi)容

　　在各學段中，安排了四個部分的課程內(nèi)容：“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”。其中，“綜合與實踐”內(nèi)容設置的目的在于培養(yǎng)學生綜合運用有關的知識與方法解決實際問題，培養(yǎng)學生的問題意識、應用意識和創(chuàng)新意識，積累學生的活動經(jīng)驗，提高學生解決現(xiàn)實問題的能力。

　　“數(shù)與代數(shù)”的主要內(nèi)容有：數(shù)的認識，數(shù)的表示，數(shù)的大小，數(shù)的運算，數(shù)量的估計;字母表示數(shù)，代數(shù)式及其運算;方程、方程組、不等式、函數(shù)等。

　　“圖形與幾何”的主要內(nèi)容有：空間和平面基本圖形的認識，圖形的性質(zhì)、分類和度量;圖形的平移、旋轉、軸對稱、相似和投影;平面圖形基本性質(zhì)的證明;運用坐標描述圖形的位置和運動。

　　“統(tǒng)計與概率”的主要內(nèi)容有：收集、整理和描述數(shù)據(jù)，包括簡單抽樣、整理調(diào)查數(shù)據(jù)、繪制統(tǒng)計圖表等;處理數(shù)據(jù)，包括計算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等;從數(shù)據(jù)中提取信息并進行簡單的推斷;簡單隨機事件及其發(fā)生的概率。

　　“綜合與實踐”是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動。在學習活動中，學生將綜合運用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”等知識和方法解決問題。“綜合與實踐”的教學活動應當保證每學期至少一次，可以在課堂上完成，也可以課內(nèi)外相結合。提倡把這種教學形式體現(xiàn)在日常教學活動中。

　　在數(shù)學課程中，應當注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。為了適應時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學課程還要特別注重發(fā)展學生的應用意識和創(chuàng)新意識。

　　數(shù)感主要是指關于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關系。

　　符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關系和變化規(guī)律;知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式。

　　空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體;想象出物體的方位和相互之間的位置關系;描述圖形的運動和變化;依據(jù)語言的描述畫出圖形等。

　　幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。

　　數(shù)據(jù)分析觀念包括：了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應當先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息;了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法;通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計的核心。

　　運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。

　　推理能力的發(fā)展應貫穿于整個數(shù)學學習過程中。推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果;演繹推理是從已有的事實(包括定義、公理、定理等)和確定的規(guī)則(包括運算的定義、法則、順序等)出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結論;演繹推理用于證明結論。

　　模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義。這些內(nèi)容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識。

　　應用意識有兩個方面的含義，一方面有意識利用數(shù)學的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題;另一方面，認識到現(xiàn)實生活中蘊涵著大量與數(shù)量和圖形有關的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學問題，用數(shù)學的方法予以解決。在整個數(shù)學教育的過程中都應該培養(yǎng)學生的應用意識，綜合實踐活動是培養(yǎng)應用意識很好的載體。

　　創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學教育的基本任務，應體現(xiàn)在數(shù)學教與學的過程之中。學生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎;獨立思考、學會思考是創(chuàng)新的核心;歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應該從義務教育階段做起，貫穿數(shù)學教育的始終。

　　第二部分 課程目標

　　一、總目標

　　通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生能：

　　1. 獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。

　　2. 體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。

　　3. 了解數(shù)學的價值，提高學習數(shù)學的興趣，增強學好數(shù)學的信心，養(yǎng)成良好的學習習慣，具有初步的創(chuàng)新意識和科學態(tài)度。

　　總目標從以下四個方面具體闡述：

　　總目標的這四個方面，不是相互獨立和割裂的，而是一個密切聯(lián)系、相互交融的有機整體。在課程設計和教學活動組織中，應同時兼顧這四個方面的目標。這些目標的整體實現(xiàn)，是學生受到良好數(shù)學教育的標志，它對學生的全面、持續(xù)、和諧發(fā)展有著重要的意義。數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度的發(fā)展離不開知識技能的學習，知識技能的學習必須有利于其他三個目標的實現(xiàn)。

　　二、學段目標

　　第一學段(1~3年級)

　　知識技能

　　1.經(jīng)歷從日常生活中抽象出數(shù)的過程，理解萬以內(nèi)數(shù)的意義，初步認識分數(shù)和小數(shù);理解常見的量;體會四則運算的意義，掌握必要的運算技能，能準確進行運算;在具體情境中，能選擇適當?shù)膯挝?，進行簡單的估算。

　　2.經(jīng)歷從實際物體中抽象出簡單幾何體和平面圖形的過程，了解一些簡單幾何體和常見的平面圖形;感受平移、旋轉、軸對稱現(xiàn)象;認識物體的相對位置。掌握初步的測量、識圖和畫圖的技能。

　　3.經(jīng)歷簡單的數(shù)據(jù)收集、整理、分析的過程，了解簡單的數(shù)據(jù)處理方法。

　　數(shù)學思考

　　1.在運用數(shù)及適當?shù)亩攘繂挝幻枋霈F(xiàn)實生活中的簡單現(xiàn)象，以及對運算結果進行估計的過程中，發(fā)展數(shù)感;在從物體中抽象出幾何圖形、想象圖形的運動和位置的過程中，發(fā)展空間觀念。

　　2.能對調(diào)查過程中獲得的簡單數(shù)據(jù)進行歸類，體驗數(shù)據(jù)中蘊涵著信息。

　　3. 在觀察、操作等活動中，能提出一些簡單的猜想。

　　4.會獨立思考問題，表達自己的想法。

　　問題解決

　　1.能在教師的指導下，從日常生活中發(fā)現(xiàn)和提出簡單的數(shù)學問題，并嘗試解決。

　　2.了解分析問題和解決問題的一些基本方法，知道同一個問題可以有不同的解決方法。

　　3.體驗與他人合作交流解決問題的過程。

　　4.嘗試回顧解決問題的過程。

　　情感態(tài)度

　　1.對身邊與數(shù)學有關的事物有好奇心，能參與數(shù)學活動。

　　2.在他人幫助下，感受數(shù)學活動中的成功，能嘗試克服困難。

　　3.了解數(shù)學可以描述生活中的一些現(xiàn)象，感受數(shù)學與生活有密切聯(lián)系。

　　4.能傾聽別人的意見，嘗試對別人的想法提出建議，知道應該尊重客觀事實。

　　第二學段(4~6年級)

　　知識技能

　　1.體驗從具體情境中抽象出數(shù)的過程，認識萬以上的數(shù);理解分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)的意義，了解負數(shù)的意義;掌握必要的運算技能;理解估算的意義;能用方程表示簡單的數(shù)量關系，能解簡單的方程。

　　2.探索一些圖形的形狀、大小和位置關系，了解一些幾何體和平面圖形的基本特征;體驗簡單圖形的運動過程，能在方格紙上畫出簡單圖形運動后的圖形，了解確定物體位置的一些基本方法;掌握測量、識圖和畫圖的基本方法。

　　3.經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理和分析的過程，掌握一些簡單的數(shù)據(jù)處理技能;體驗隨機事件和事件發(fā)生的等可能性。

　　4.能借助計算器解決簡單的應用問題。

　　數(shù)學思考

　　1.初步形成數(shù)感和空間觀念，感受符號和幾何直觀的作用。

　　2.進一步認識到數(shù)據(jù)中蘊涵著信息，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念;通過實例感受簡單的隨機現(xiàn)象。

　　3.在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果。

　　4. 會獨立思考，體會一些數(shù)學的基本思想。

　　問題解決

　　1.嘗試從日常生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡單的數(shù)學問題，并運用一些知識加以解決。

　　2.能探索分析和解決簡單問題的有效方法，了解解決問題方法的多樣性。

　　3.經(jīng)歷與他人合作交流解決問題的過程，嘗試解釋自己的思考過程。

　　4.能回顧解決問題的過程，初步判斷結果的合理性。

　　情感態(tài)度

　　1.愿意了解社會生活中與數(shù)學相關的信息，主動參與數(shù)學學習活動。

　　2.在他人的鼓勵和引導下，體驗克服困難、解決問題的過程，相信自己能夠學好數(shù)學。

　　3.在運用數(shù)學知識和方法解決問題的過程中，認識數(shù)學的價值。

　　4.初步養(yǎng)成樂于思考、勇于質(zhì)疑、言必有據(jù)等良好品質(zhì)。

　　第三學段(7~9年級)

　　知識技能

　　1.體驗從具體情境中抽象出數(shù)學符號的過程，理解有理數(shù)、實數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù);掌握必要的運算(包括估算)技能;探索具體問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，掌握用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)進行表述的方法。

　　2.探索并掌握相交線、平行線、三角形、四邊形和圓的基本性質(zhì)與判定，掌握基本的證明方法和基本的作圖技能;探索并理解平面圖形的平移、旋轉、軸對稱;認識投影與視圖;探索并理解平面直角坐標系及其應用。

　　3.體驗數(shù)據(jù)收集、處理、分析和推斷過程，理解抽樣方法，體驗用樣本估計總體的過程;進一步認識隨機現(xiàn)象，能計算一些簡單事件的概率。

　　數(shù)學思考

　　1.通過用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等表述數(shù)量關系的過程，體會模型的思想，建立符號意識;在研究圖形性質(zhì)和運動、確定物體位置等過程中，進一步發(fā)展空間觀念;經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀。

　　2.了解利用數(shù)據(jù)可以進行統(tǒng)計推斷，發(fā)展建立數(shù)據(jù)分析觀念;感受隨機現(xiàn)象的特點。

　　3.體會通過合情推理探索數(shù)學結論，運用演繹推理加以證明的過程，在多種形式的數(shù)學活動中，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力。

　　4.能獨立思考，體會數(shù)學的基本思想和思維方式。

　　問題解決

　　1.初步學會在具體的情境中從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并綜合運用數(shù)學知識和方法等解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力。

　　2.經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法。

　　3.在與他人合作和交流過程中，能較好地理解他人的思考方法和結論。

　　4.能針對他人所提的問題進行反思，初步形成評價與反思的意識。

　　情感態(tài)度

　　1.積極參與數(shù)學活動，對數(shù)學有好奇心和求知欲。

　　2.感受成功的快樂，體驗獨自克服困難、解決數(shù)學問題的過程，有克服困難的勇氣，具備學好數(shù)學的信心。

　　3.在運用數(shù)學表述和解決問題的過程中，認識數(shù)學具有抽象、嚴謹和應用廣泛的特點，體會數(shù)學的價值。

　　4.敢于發(fā)表自己的想法、勇于質(zhì)疑、敢于創(chuàng)新，養(yǎng)成認真勤奮、獨立思考、合作交流等學習習慣，形成嚴謹求實的科學態(tài)度。

　　第三部分 課程內(nèi)容

　　第一學段(1~3年級)

　　一、數(shù)與代數(shù)

　　(一)數(shù)的認識

　　1. 在現(xiàn)實情境中理解萬以內(nèi)數(shù)的意義，能認、讀、寫萬以內(nèi)的數(shù)，能用數(shù)表示物體的個數(shù)或事物的順序和位置。

　　2. 能說出各數(shù)位的名稱，理解各數(shù)位上的數(shù)字表示的意義;知道用算盤可以表示多位數(shù)(參見例1)。

　　3. 理解符號<，=，>的含義，能用符號和詞語描述萬以內(nèi)數(shù)的大小(參見例2)。

　　4. 在生活情境中感受大數(shù)的意義，并能進行估計(參見例3)。

　　5. 能結合具體情境初步認識小數(shù)和分數(shù)，能讀、寫小數(shù)和分數(shù)。

　　6. 能結合具體情境比較兩個一位小數(shù)的大小，能比較兩個同分母分數(shù)的大小。

　　7. 能運用數(shù)表示日常生活中的一些事物，并能進行交流(參見例4)。

　　(二)數(shù)的運算

　　1. 結合具體情境，體會整數(shù)四則運算的意義(參見例5)。

　　2. 能熟練地口算20以內(nèi)的加減法和表內(nèi)乘除法，能口算簡單的百以內(nèi)的加減法和一位數(shù)乘除兩位數(shù)。

　　3. 能計算兩位數(shù)和三位數(shù)的加減法，一位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，兩位數(shù)和三位數(shù)除以一位數(shù)的除法。

　　4.認識小括號，能進行簡單的整數(shù)四則混合運算(兩步)。

　　5. 會進行同分母分數(shù)(分母小于10)的加減運算以及一位小數(shù)的加減運算。

　　6. 能結合具體情境，選擇適當?shù)膯挝贿M行簡單估算，體會估算在生活中的作用(參見例6)。

　　7. 經(jīng)歷與他人交流各自算法的過程。

　　8. 能運用數(shù)及數(shù)的運算解決生活中的簡單問題，并能對結果的實際意義作出解釋(參見例7)。

　　(三)常見的量

　　1. 在現(xiàn)實情境中，認識元、角、分，并了解它們之間的關系。

　　2. 能認識鐘表，了解24時記時法;結合自己的生活經(jīng)驗，體驗時間的長短(參見例8)。

　　3. 認識年、月、日，了解它們之間的關系。

　　4. 在現(xiàn)實情境中，感受并認識克、千克、噸，能進行簡單的單位換算。

　　5. 能結合生活實際，解決與常見的量有關的簡單問題。

　　(四)探索規(guī)律

　　探索簡單情景下的變化規(guī)律(參見例9、例10)。

　　二、圖形與幾何

　　(一)圖形的認識

　　1. 能通過實物和模型辨認長方體、正方體、圓柱和球等幾何體。

　　2. 能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認從不同角度觀察到的簡單物體(參見例11)。

　　3. 能辨認長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡單圖形。

　　4. 通過觀察、操作，初步認識長方形、正方形的特征。

　　5. 會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。

　　6. 結合生活情境認識角，了解直角、銳角和鈍角。

　　7. 能對簡單幾何體和圖形進行分類(參見例20)。

　　(二)測量

　　1. 結合生活實際，經(jīng)歷用不同方式測量物體長度的過程，體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性。

　　2. 在實踐活動中，體會并認識長度單位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能進行簡單的單位換算，能恰當?shù)剡x擇長度單位(參見例12)。

　　3. 能估測一些物體的長度，并進行測量。

　　4. 結合實例認識周長，并能測量簡單圖形的周長，探索并掌握長方形、正方形的周長公式。

　　5. 結合實例認識面積，體會并認識面積單位厘米2、分米2、米2，能進行簡單的單位換算。

　　6. 探索并掌握長方形、正方形的面積公式，會估計給定簡單圖形的面積(參見例13)。

　　(三)圖形的運動

　　1. 結合實例，感受平移、旋轉、軸對稱現(xiàn)象(參見例14)。

　　2. 能辨認簡單圖形平移后的圖形(參見例15)。

　　3. 通過觀察、操作，初步認識軸對稱圖形。

　　(四)圖形與位置

　　1. 會用上、下、左、右、前、后描述物體的相對位置。

　　2. 給定東、南、西、北四個方向中的一個方向，能辨認其余三個方向，知道東北、西北、東南、西南四個方向，會用這些詞語描繪物體所在的方向(參見例16)。

　　三、統(tǒng)計與概率

　　1. 能根據(jù)給定的標準或者自己選定的標準，對事物或數(shù)據(jù)進行分類，感受分類與分類標準的關系(參見例17)。

　　2. 經(jīng)歷簡單的數(shù)據(jù)收集和整理過程，了解調(diào)查、測量等收集數(shù)據(jù)的簡單方法，并能用自己的方式(文字、圖畫、表格等)呈現(xiàn)整理數(shù)據(jù)的結果(參見例18)。

　　3. 通過對數(shù)據(jù)的簡單分析，體會運用數(shù)據(jù)進行表達與交流的作用，感受數(shù)據(jù)蘊涵信息(參見例19)。

　　四、綜合與實踐

　　1.通過實踐活動，感受數(shù)學在日常生活中的作用，體驗運用所學的知識和方法解決簡單問題的過程，獲得初步的數(shù)學活動經(jīng)驗。

　　2.在實踐活動中，了解要解決的問題和解決問題的辦法。

　　3.經(jīng)歷實踐操作的過程，進一步理解所學的內(nèi)容。

　　(參見例20、例21、例22)

　　第二學段(4~6年級)

　　一、數(shù)與代數(shù)

　　(一)數(shù)的認識

　　1. 在具體情境中，認識萬以上的數(shù)，了解十進制計數(shù)法，會用萬、億為單位表示大數(shù)。

　　2. 結合現(xiàn)實情境感受大數(shù)的意義，并能進行估計(參見例23)。

　　3. 會運用數(shù)描述事物的某些特征，進一步體會數(shù)在日常生活中的作用(參見例24)。

　　4. 知道2，3，5的倍數(shù)的特征，了解公倍數(shù)和最小公倍數(shù);在1~100的自然數(shù)中，能找出10以內(nèi)自然數(shù)的所有倍數(shù)，能找出10以內(nèi)兩個自然數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。

　　5. 了解公因數(shù)和最大公因數(shù);在1~100的自然數(shù)中，能找出一個自然數(shù)的所有因數(shù)，能找出兩個自然數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)。

　　6. 了解自然數(shù)、整數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)(素)數(shù)和合數(shù)。

　　7. 結合具體情境，理解小數(shù)和分數(shù)的意義，理解百分數(shù)的意義(參見例25);會進行小數(shù)、分數(shù)和百分數(shù)的轉化(不包括將循環(huán)小數(shù)化為分數(shù))。

　　8. 能比較小數(shù)的大小和分數(shù)的大小。

　　9.在熟悉的生活情境中，了解負數(shù)的意義，會用負數(shù)表示日常生活中的一些量。

　　(二)數(shù)的運算

　　1.能計算三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，三位數(shù)除以兩位數(shù)的除法。

　　2.認識中括號，能進行簡單的整數(shù)四則混合運算(以兩步為主，不超過三步)。

　　3.探索并了解運算律(加法的交換律和結合律、乘法的交換律和結合律、乘法對加法的分配律)，會應用運算律進行一些簡便運算。

　　4.在具體運算和解決簡單實際問題的過程中，體會加與減、乘與除的互逆關系。

　　5.能分別進行簡單的小數(shù)和分數(shù)(不含帶分數(shù))的加、減、乘、除運算及混合運算(以兩步為主，不超過三步)。

　　6.能解決小數(shù)、分數(shù)和百分數(shù)的簡單實際問題。

　　7.在具體情境中，了解常見的數(shù)量關系：總價=單價×數(shù)量、路程=速度×時間，并能解決簡單的實際問題。

　　8.經(jīng)歷與他人交流各自算法的過程，并能表達自己的想法。

　　9.在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進行估算(參見例26、例27)。

　　10.能借助計算器進行運算，解決簡單的實際問題，探索簡單的規(guī)律(參見例28)。

　　(三)式與方程

　　1.在具體情境中能用字母表示數(shù)。

　　2.結合簡單的實際情境，了解等量關系，并能用字母表示。

　　3. 能用方程表示簡單情境中的等量關系(如3x+2=5，2x-x=3)，了解方程的作用。

　　4.了解等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡單的方程。

　　(四)正比例、反比例

　　1.在實際情境中理解比及按比例分配的含義，并能解決簡單的問題。

　　2.通過具體情境，認識成正比例的量和成反比例的量。

　　3.會根據(jù)給出的有正比例關系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫圖，并會根據(jù)其中一個量的值估計另一個量的值(參見例29)。

　　4.能找出生活中成正比例和成反比例關系量的實例，并進行交流。

　　(五)探索規(guī)律

　　探索給定情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢(參見例30、例31)。

　　二、圖形與幾何

　　(一)圖形的認識

　　1.結合實例了解線段、射線和直線。

　　2.體會兩點間所有連線中線段最短，知道兩點間的距離。

　　3.知道平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關系。

　　4.結合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交(包括垂直)關系。

　　5.通過觀察、操作，認識平行四邊形、梯形和圓，知道扇形，會用圓規(guī)畫圓。

　　6.認識三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角形內(nèi)角和是180°。

　　7.認識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。

　　8.能辨認從不同方向(前面、側面、上面)看到的物體的形狀圖(參見例32)。

　　9.通過觀察、操作，認識長方體、正方體、圓柱和圓錐，認識長方體、正方體和圓柱的展開圖。

　　(二)測量

　　1.能用量角器量指定角的度數(shù)，能畫指定度數(shù)的角，會用三角尺畫30°，45°，60°，90°角。

　　2.探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式，并能解決簡單的實際問題。

　　3.知道面積單位：千米2、公頃。

　　4.通過操作，了解圓的周長與直徑的比為定值，掌握圓的周長公式;探索并掌握圓的面積公式，并能解決簡單的實際問題。

　　5.會用方格紙估計不規(guī)則圖形的面積(參見例33)。

　　6.通過實例了解體積(包括容積)的意義及度量單位(米3、分米3、厘米3、升、毫升)，能進行單位之間的換算，感受1米3、1厘米3以及1升、1毫升的實際意義。

　　7.結合具體情境，探索并掌握長方體、正方體、圓柱的體積和表面積以及圓錐體積的計算方法，并能解決簡單的實際問題。

　　8.體驗某些實物(如土豆等)體積的測量方法(參見例34)。

　　(三)圖形的運動

　　1.通過觀察、操作等活動，進一步認識軸對稱圖形及其對稱軸，能在方格紙上畫出軸對稱圖形的對稱軸;能在方格紙上補全一個簡單的軸對稱圖形。

　　2.通過觀察、操作等，在方格紙上認識圖形的平移與旋轉，能在方格紙上按水平或垂直方向將簡單圖形平移，會在方格紙上將簡單圖形旋轉90°(參見例35)。

　　3.能利用方格紙按一定比例將簡單圖形放大或縮小。

　　4.能從平移、旋轉和軸對稱的角度欣賞生活中的圖案，并運用它們在方格紙上設計簡單的圖案。

　　(四)圖形與位置

　　1.了解比例尺;在具體情境中，會按給定的比例進行圖上距離與實際距離的換算。

　　2.能根據(jù)物體相對于參照點的方向和距離確定其位置。

　　3.會描述簡單的路線圖(參見例36)。

　　4.在具體情境中，能在方格紙上用數(shù)對(限于正整數(shù))表示位置，知道數(shù)對與方格紙上點的對應(參見例37)。

　　三、統(tǒng)計與概率

　　(一)簡單數(shù)據(jù)統(tǒng)計過程

　　1.經(jīng)歷簡單的收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的過程(可使用計算器)。

　　2.會根據(jù)實際問題設計簡單的調(diào)查表，能選擇適當?shù)姆椒?如調(diào)查、試驗、測量)收集數(shù)據(jù)。

　　3.認識條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖;能用條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖直觀且有效地表示數(shù)據(jù)(參見例38)。

　　4.體會平均數(shù)的作用，能計算平均數(shù)，能用自己的語言解釋其實際意義(參見例38)。

　　5.能從報紙雜志、電視等媒體中，有意識地獲得一些數(shù)據(jù)信息，并能讀懂簡單的統(tǒng)計圖表(參見例39)。

　　6.能解釋統(tǒng)計結果，根據(jù)結果作出簡單的判斷和預測，并能進行交流(參見例38、例40)。

　　(二)隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性

　　1.在具體情境中，通過實例感受簡單的隨機現(xiàn)象;能列出簡單的隨機現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結果(參見例41)。

　　2.通過試驗、游戲等活動，感受隨機現(xiàn)象結果發(fā)生的可能性是有大小的，能對一些簡單的隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小作出定性描述，并能進行交流(參見例41)。

　　四、綜合與實踐

　　1. 經(jīng)歷有目的、有設計、有步驟、有合作的實踐活動。

　　2.結合實際情境，體驗發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程。

　　3.在給定目標下，感受針對具體問題提出設計思路、制定簡單的方案解決問題的過程。

　　4. 通過應用和反思，進一步理解所用的知識和方法，了解所學知識之間的聯(lián)系，獲得數(shù)學活動經(jīng)驗。

　　(參見例42、例43、例44、例45、例46)

　　第三學段(7~9年級)

　　一、數(shù)與代數(shù)

　　(一)數(shù)與式

　　1.有理數(shù)

　　(1)理解有理數(shù)的意義，能用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，能比較有理數(shù)的大小。

　　(2)借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，掌握求有理數(shù)的相反數(shù)與絕對值的方法，知道|a|的含義(這里a表示有理數(shù))。

　　(3)理解乘方的意義，掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算(以三步以內(nèi)為主)。

　　(4)理解有理數(shù)的運算律，能運用運算律簡化運算。

　　(5)能運用有理數(shù)的運算解決簡單的問題。

　　2.實數(shù)

　　(1)了解平方根、算術平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、算術平方根、立方根。

　　(2)了解乘方與開方互為逆運算，會用平方運算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會用立方運算求百以內(nèi)整數(shù)(對應的負整數(shù))的立方根，會用計算器求平方根和立方根。

　　(3)了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，能求實數(shù)的相反數(shù)與絕對值。

　　(4)能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍(參見例47)。

　　(5)了解近似數(shù)，在解決實際問題中，能用計算器進行近似計算，并會按問題的要求對結果取近似值。

　　(6)了解二次根式、最簡二次根式的概念，了解二次根式(根號下僅限于數(shù))加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關的簡單四則運算(參見例48)。

　　3.代數(shù)式

　　(1)借助現(xiàn)實情境了解代數(shù)式，進一步理解用字母表示數(shù)的意義(參見例49)。

　　(2)能分析具體問題中的簡單數(shù)量關系，并用代數(shù)式表示。

　　(3)會求代數(shù)式的值;能根據(jù)特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會代入具體的值進行計算。

　　4.整式與分式

　　(1)了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì);會用科學記數(shù)法表示數(shù)(包括在計算器上表示)。

　　(2)理解整式的概念，掌握合并同類項和去括號的法則，能進行簡單的整式加法和減法運算;能進行簡單的整式乘法運算(其中多項式相乘僅指一次式之間以及一次式與二次式相乘)。

　　(3)能推導乘法公式：(a+b)( a- b) = a2- b2;(a±b)2 = a 2±2ab + b 2，了解公式的幾何背景，并能利用公式進行簡單計算(參見例50)。

　　(4)能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超過二次)進行因式分解(指數(shù)是正整數(shù))。

　　(5)了解分式和最簡分式的概念，能利用分式的基本性質(zhì)進行約分和通分;能進行簡單的分式加、減、乘、除運算。

　　(二)方程與不等式

　　1.方程與方程組

　　(1)能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型(參見例51)。

　　(2)經(jīng)歷估計方程解的過程(參見例52)。

　　(3)掌握等式的基本性質(zhì)。

　　(4)能解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程。

　　(5)掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組。

　　(6)*[1]能解簡單的三元一次方程組。

　　(7)理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。

　　(8)會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等。

　　(9)*了解一元二次方程的根與系數(shù)的關系。

　　(10)能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理。

　　2.不等式與不等式組

　　(1)結合具體問題，了解不等式的意義(參見例53)，探索不等式的基本性質(zhì)。

　　(2)能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集;會用數(shù)軸確定由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集。

　　(3)能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系，列出一元一次不等式，解決簡單的問題。

　　(三)函數(shù)

　　1.函數(shù)

　　(1)探索簡單實例中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，了解常量、變量的意義。

　　(2)結合實例，了解函數(shù)的概念和三種表示法，能舉出函數(shù)的實例。

　　(3)能結合圖象對簡單實際問題中的函數(shù)關系進行分析(參見例54)。

　　(4)能確定簡單實際問題中函數(shù)自變量的取值范圍，并會求出函數(shù)值。

　　(5)能用適當?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關系(參見例55)。

　　(6)結合對函數(shù)關系的分析，能對變量的變化情況進行初步討論(參見例56)。

　　2.一次函數(shù)

　　(1)結合具體情境體會一次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的表達式(參見例57)。

　　(2)會利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達式。

　　(3)能畫出一次函數(shù)的圖象，根據(jù)一次函數(shù)的圖象和表達式 y = kx + b (k≠0)探索并理解k>0和k<0時，圖象的變化情況。

　　(4)理解正比例函數(shù)。

　　(5)體會一次函數(shù)與二元一次方程的關系。

　　(6)能用一次函數(shù)解決簡單實際問題。

　　3.反比例函數(shù)

　　(1)結合具體情境體會反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達式。

　　(2)能畫出反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表達式 y =

　　

 

　　word/media/image1.gif (k≠0)探索并理解k>0和k<0時，圖象的變化情況。

　　(3)能用反比例函數(shù)解決簡單實際問題。

　　4.二次函數(shù)

　　(1)通過對實際問題的分析，體會二次函數(shù)的意義。

　　(2)會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)。

　　(3)會用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達式化為

　　

 

　　word/media/image2.gif的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點坐標，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸，并能解決簡單實際問題。

　　(4)會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解。

　　(5)*知道給定不共線三點的坐標可以確定一個二次函數(shù)。

　　二、圖形與幾何

　　(一)圖形的性質(zhì)

　　1.點、線、面、角

　　(1)通過實物和具體模型，了解從物體抽象出來的幾何體、平面、直線和點等(參見例58)。

　　(2)會比較線段的長短，理解線段的和、差，以及線段中點的意義。

　　(3)掌握基本事實：兩點確定一條直線。

　　(4)掌握基本事實：兩點之間線段最短。

　　(5)理解兩點間距離的意義，能度量兩點間的距離。

　　(6)理解角的概念，能比較角的大小。

　　(7)認識度、分、秒，會對度、分、秒進行簡單的換算，并會計算角的和、差。

　　2.相交線與平行線

　　(1)理解對頂角、余角、補角等概念，探索并掌握對頂角相等、同角(等角)的余角相等，同角(等角)的補角相等的性質(zhì)。

　　(2)理解垂線、垂線段等概念，能用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線。

　　(3)理解點到直線的距離的意義，能度量點到直線的距離。

　　(4)掌握基本事實：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

　　(5)識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角。

　　(6)理解平行線概念;掌握基本事實：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。

　　(7)掌握基本事實：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行。

　　(8)掌握平行線的性質(zhì)定理：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等。 *了解平行線性質(zhì)定理的證明(參看例59)。

　　(9)能用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線。

　　(10)探索并證明平行線的判定定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等(或同旁內(nèi)角互補)，那么這兩條直線平行;探索并證明平行線的性質(zhì)定理：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等(或同旁內(nèi)角互補)。

　　(11)了解平行于同一條直線的兩條直線平行。

　　3.三角形

　　(1)理解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性。

　　(2)探索并證明三角形的內(nèi)角和定理。掌握它的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊。

　　(3)理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應邊、對應角。

　　(4)掌握基本事實：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等(參見例60)。

　　(5)掌握基本事實：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等(參見例60)。

　　(6)掌握基本事實：三邊分別相等的兩個三角形全等。

　　(7)證明定理：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等。

　　(8)探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等;反之，角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。

　　(9)理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等;反之，到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上。

　　(10)了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩底角相等;底邊上的高線、中線及頂角平分線重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。探索等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于60°，及等邊三角形的判定定理：三個角都相等的三角形(或有一個角是60°的等腰三角形)是等邊三角形。

　　(11)了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個銳角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形。

　　(12)探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題。

　　(13)探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理。

　　(14)了解三角形重心的概念。

　　4.四邊形

　　(1)了解多邊形的定義，多邊形的頂點、邊、內(nèi)角、外角、對角線等概念;探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式。

　　(2)理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它們之間的關系;了解四邊形的不穩(wěn)定性。

　　(3)探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理：平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分;探索并證明平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

　　(4)了解兩條平行線之間距離的意義，能度量兩條平行線之間的距離。

　　(5)探索并證明矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理：矩形的四個角都是直角，對角線相等;菱形的四條邊相等，對角線互相垂直;以及它們的判定定理：三個角是直角的四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形是矩形;四邊相等的四邊形是菱形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。正方形具有矩形和菱形的一切性質(zhì)(參見例61)。

　　(6)探索并證明三角形的中位線定理。

　　5.圓

　　(1)理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念;探索并了解點與圓的位置關系。

　　(2)*探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧。

　　(3)探索圓周角與圓心角及其所對弧的關系，了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半;直徑所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑;圓內(nèi)接四邊形的對角互補。

　　(4)知道三角形的內(nèi)心和外心。

　　(5)了解直線和圓的位置關系，掌握切線的概念，探索切線與過切點的半徑的關系，會用三角尺過圓上一點畫圓的切線。

　　(6)*探索并證明切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等(參見例62)。

　　(7)會計算圓的弧長、扇形的面積。

　　(8)了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關系。

　　6.尺規(guī)作圖

　　(1)能用尺規(guī)完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段;作一個角等于已知角;作一個角的平分線;作一條線段的垂直平分線;過一點作已知直線的垂線。

　　(2)會利用基本作圖作三角形：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形;已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形;已知一直角邊和斜邊作直角三角形。

　　(3)會利用基本作圖完成：過不在同一直線上的三點作圓;作三角形的外接圓、內(nèi)切圓;作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形。

　　(4)在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法。

　　7.定義、命題、定理

　　(1)通過具體實例，了解定義、命題、定理、推論的意義。

　　(2)結合具體實例，會區(qū)分命題的條件和結論，了解原命題及其逆命題的概念。會識別兩個互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立。

　　(3)知道證明的意義和證明的必要性(參見例74)，知道證明要合乎邏輯(參見例63)，知道證明的過程可以有不同的表達形式，會綜合法證明的格式。

　　(4)了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個命題是錯誤的。

　　(5)通過實例體會反證法的含義。

　　(二)圖形的變化

　　1.圖形的軸對稱

　　(1)通過具體實例了解軸對稱的概念，探索它的基本性質(zhì)：成軸對稱的兩個圖形中，對應點的連線被對稱軸垂直平分(參見例64)。

　　(2)能畫出簡單平面圖形(點、線段、直線、三角形等)關于給定對稱軸的對稱圖形。

　　(3)了解軸對稱圖形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對稱性質(zhì)。

　　(4)認識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形。

　　2.圖形的旋轉

　　(1)通過具體實例認識平面圖形關于旋轉中心的旋轉。探索它的基本性質(zhì)：一個圖形和它經(jīng)過旋轉所得到的圖形中，對應點到旋轉中心距離相等，兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角相等(參見例64)。

　　(2)了解中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索它的基本性質(zhì)：成中心對稱的兩個圖形中，對應點的連線經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分。

　　(3)探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質(zhì)。

　　(4)認識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的中心對稱圖形。

　　3.圖形的平移

　　(1)通過具體實例認識平移，探索它的基本性質(zhì)：一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，兩組對應點的連線平行(或在同一條直線上)且相等(參見例64)。

　　(2)認識并欣賞平移在自然界和現(xiàn)實生活中的應用。

　　(3)運用圖形的軸對稱、旋轉、平移進行圖案設計。

　　4.圖形的相似

　　(1)了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例的線段;通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割。

　　(2)通過具體實例認識圖形的相似。了解相似多邊形和相似比。

　　(3)掌握基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。

　　(4)了解相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似;兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似;三邊成比例的兩個三角形相似。 *了解相似三角形判定定理的證明。

　　(5)了解相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對應線段的比等于相似比;面積比等于相似比的平方。

　　(6)了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小。

　　(7)會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題(參見例74)。

　　(8)利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數(shù)(sin A，cos A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值。

　　(9)會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對應銳角。

　　(10)能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題。

　　5.圖形的投影

　　(1)通過豐富的實例，了解中心投影和平行投影的概念。

　　(2)會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡單物體的視圖，并會根據(jù)視圖描述簡單的幾何體。

　　(3)了解直棱柱、圓錐的側面展開圖，能根據(jù)展開圖想象和制作實物模型。

　　(4)通過實例，了解上述視圖與展開圖在現(xiàn)實生活中的應用。

　　(三)圖形與坐標

　　1.坐標與圖形位置

　　(1)結合實例進一步體會用有序數(shù)對可以表示物體的位置。

　　(2)理解平面直角坐標系的有關概念，能畫出直角坐標系;在給定的直角坐標系中，能根據(jù)坐標描出點的位置、由點的位置寫出它的坐標。

　　(3)在實際問題中，能建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，描述物體的位置(參見例65)。

　　(4)對給定的正方形，會選擇合適的直角坐標系寫出它的頂點坐標，體會可以用坐標刻畫一個簡單圖形。

　　(5)在平面上，能用方位角和距離刻畫兩個物體的相對位置(參見例66)。

　　2.坐標與圖形運動

　　(1)在直角坐標系中，以坐標軸為對稱軸，能寫出一個已知頂點坐標的多邊形的對稱圖形的頂點坐標，并知道對應頂點坐標之間的關系。

　　(2)在直角坐標系中，能寫出一個已知頂點坐標的多邊形沿坐標軸方向平移后圖形的頂點坐標，并知道對應頂點坐標之間的關系。

　　(3)在直角坐標系中，探索并了解將一個多邊形依次沿兩個坐標軸方向平移后所得到的圖形與原來的圖形具有平移關系，體會圖形頂點坐標的變化。

　　(4)在直角坐標系中，探索并了解將一個多邊形的頂點坐標(有一個頂點為原點、有一條邊在橫坐標軸上)分別擴大或縮小相同倍數(shù)時所對應的圖形與原圖形是位似的。

　　三、統(tǒng)計與概率

　　(一)抽樣與數(shù)據(jù)分析

　　1. 經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動，了解數(shù)據(jù)處理的過程;能用計算器處理較為復雜的數(shù)據(jù)。

　　2. 體會抽樣的必要性，通過實例了解簡單隨機抽樣(參見例67)。

　　3. 會制作扇形統(tǒng)計圖，能用統(tǒng)計圖直觀、有效地描述數(shù)據(jù)。

　　4. 理解平均數(shù)的意義，能計算中位數(shù)、眾數(shù)、加權平均數(shù)，了解它們是數(shù)據(jù)集中趨勢的描述(參見例68)。

　　5. 體會刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義，會計算簡單數(shù)據(jù)的方差(參見例69)。

　　6. 通過實例，了解頻數(shù)和頻數(shù)分布的意義，能畫頻數(shù)直方圖，能利用頻數(shù)直方圖解釋數(shù)據(jù)中蘊涵的信息(參見例70)。

　　7. 體會樣本與總體關系，知道可以通過樣本平均數(shù)、樣本方差推斷總體平均數(shù)、總體方差。

　　8. 能解釋統(tǒng)計結果，根據(jù)結果作出簡單的判斷和預測，并能進行交流(參見例70)。

　　9. 通過表格、折線圖、趨勢圖等，感受隨機現(xiàn)象的變化趨勢(參見例71)。

　　(二)事件的概率

　　1. 能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結果，了解事件的概率(參看例72、例73)。

　　2. 知道通過大量地重復試驗，可以用頻率來估計概率。

　　四、綜合與實踐

　　1.結合實際情境，經(jīng)歷設計解決具體問題的方案，并加以實施的過程，體驗建立模型、解決問題的過程，并在此過程中，嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題。

　　2.會反思參與活動的全過程，將研究的過程和結果形成報告或小論文，并能進行交流，進一步獲得數(shù)學活動經(jīng)驗。

　　3.通過對有關問題的探討，了解所學過知識(包括其他學科知識)之間的關聯(lián)，進一步理解有關知識，發(fā)展應用意識和能力。

　　(參見例74、例75、例76、例77、例78、例79)

　?、贅擞?的內(nèi)容為選學內(nèi)容，不作考試要求。

　　第四部分 實施建議

　　一、教學建議

　　教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程。

　　數(shù)學教學應根據(jù)具體的教學內(nèi)容，注意使學生在獲得間接經(jīng)驗的同時也能夠有機會獲得直接經(jīng)驗，即從學生實際出發(fā)，創(chuàng)設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過實踐、思考、探索、交流等，獲得數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，促使學生主動地、富有個性地學習，不斷提高發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力。

　　在數(shù)學教學活動中，教師要把基本理念轉化為自己的教學行為， 處理好教師講授與學生自主學習的關系，注重啟發(fā)學生積極思考;發(fā)揚教學民主，當好學生數(shù)學活動的組織者、引導者、合作者;激發(fā)學生的學習潛能，鼓勵學生大膽創(chuàng)新與實踐;創(chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學資源，為學生提供豐富多彩的學習素材;關注學生的個體差異，有效地實施有差異的教學，使每個學生都得到充分的發(fā)展;合理地運用現(xiàn)代信息技術，有條件的地區(qū)，要盡可能合理、有效地使用計算機和有關軟件，提高教學效益。

　　(一) 數(shù)學教學活動要注重課程目標的整體實現(xiàn)

　　為使每個學生都受到良好的數(shù)學教育，數(shù)學教學不僅要使學生獲得數(shù)學的知識技能，而且要把知識技能、數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度四個方面目標有機結合，整體實現(xiàn)課程目標。

　　課程目標的整體實現(xiàn)需要日積月累。在日常的教學活動中，教師應努力挖掘教學內(nèi)容中可能蘊涵的、與上述四個方面目標有關的教育價值，通過長期的教學過程，逐漸實現(xiàn)課程的整體目標。因此，無論是設計、實施課堂教學方案，還是組織各類教學活動，不僅要重視學生獲得知識技能，而且要激發(fā)學生的學習興趣，通過獨立思考或者合作交流感悟數(shù)學的基本思想，引導學生在參與數(shù)學活動的過程中積累基本經(jīng)驗，幫助學生形成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等良好的學習習慣。

　　例如，關于“零指數(shù)”教學方案的設計可作如下考慮：教學目標不僅要包括了解零指數(shù)冪的“規(guī)定”、會進行簡單計算，還要包括感受這個“規(guī)定”的合理性，并在這個過程中學會數(shù)學思考、感悟理性精神(參見例80)。

　　(二)重視學生在學習活動中的主體地位

　　有效的數(shù)學教學活動是教師教與學生學的統(tǒng)一，應體現(xiàn)“以人為本”的理念，促進學生的全面發(fā)展。

　　1.學生是數(shù)學學習的主體，在積極參與學習活動的過程中不斷得到發(fā)展。

　　學生獲得知識，必須建立在自己思考的基礎上，可以通過接受學習的方式，也可以通過自主探索等方式;學生應用知識并逐步形成技能，離不開自己的實踐;學生在獲得知識技能的過程中，只有親身參與教師精心設計的教學活動，才能在數(shù)學思考、問題解決和情感態(tài)度方面得到發(fā)展(參見例81)。

　　2.教師應成為學生學習活動的組織者、引導者、合作者，為學生的發(fā)展提供良好的環(huán)境和條件。

　　教師的“組織”作用主要體現(xiàn)在兩個方面：第一，教師應當準確把握教學內(nèi)容的數(shù)學實質(zhì)和學生的實際情況，確定合理的教學目標，設計一個好的教學方案;第二，在教學活動中，教師要選擇適當?shù)慕虒W方式，因勢利導、適時調(diào)控、努力營造師生互動、生生互動、生動活潑的課堂氛圍，形成有效的學習活動。

　　教師的“引導”作用主要體現(xiàn)在：通過恰當?shù)膯栴}，或者準確、清晰、富有啟發(fā)性的講授，引導學生積極思考、求知求真，激發(fā)學生的好奇心;通過恰當?shù)臍w納和示范，使學生理解知識、掌握技能、積累經(jīng)驗、感悟思想;能關注學生的差異，用不同層次的問題或教學手段，引導每一個學生都能積極參與學習活動，提高教學活動的針對性和有效性。

　　教師與學生的“合作”主要體現(xiàn)在：教師以平等、尊重的態(tài)度鼓勵學生積極參與教學活動，啟發(fā)學生共同探索，與學生一起感受成功和挫折、分享發(fā)現(xiàn)和成果。

　　3.處理好學生主體地位和教師主導作用的關系。

　　好的教學活動，應是學生主體地位和教師主導作用的和諧統(tǒng)一。一方面，學生主體地位的真正落實，依賴于教師主導作用的有效發(fā)揮;另一方面，有效發(fā)揮教師主導作用的標志，是學生能夠真正成為學習的主體，得到全面的發(fā)展(參見例31、例51)。

　　實行啟發(fā)式教學有助于落實學生的主體地位和發(fā)揮教師的主導作用。教師富有啟發(fā)性的講授;創(chuàng)設情境、設計問題，引導學生自主探索、合作交流;組織學生操作實驗、觀察現(xiàn)象、提出猜想、推理論證等，都能有效地啟發(fā)學生的思考，使學生成為學習的主體，逐步學會學習。

　　(三)注重學生對基礎知識、基本技能的理解和掌握

　　“知識技能”既是學生發(fā)展的基礎性目標，又是落實“數(shù)學思考”“問題解決”“情感態(tài)度”目標的載體。

　　1.數(shù)學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數(shù)學知識之間的關聯(lián)。

　　學生掌握數(shù)學知識，不能依賴死記硬背，而應以理解為基礎，并在知識的應用中不斷鞏固和深化。為了幫助學生真正理解數(shù)學知識，教師應注重數(shù)學知識與學生生活經(jīng)驗的聯(lián)系、與學生學科知識的聯(lián)系，組織學生開展實驗、操作、嘗試等活動，引導學生進行觀察、分析，抽象概括，運用知識進行判斷。教師還應揭示知識的數(shù)學實質(zhì)及其體現(xiàn)的數(shù)學思想，幫助學生理清相關知識之間的區(qū)別和聯(lián)系等。

　　數(shù)學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數(shù)學的整體性，體會對于某些數(shù)學知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解。

　　2.在基本技能的教學中，不僅要使學生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學生理解程序和步驟的道理。例如，對于整數(shù)乘法計算，學生不僅要掌握如何進行計算，而且要知道相應的算理;對于尺規(guī)作圖，學生不僅要知道作圖的步驟，而且要能知道實施這些步驟的理由。

　　基本技能的形成，需要一定量的訓練，但要適度，不能依賴機械的重復操作，要注重訓練的實效性。教師應把握技能形成的階段性，根據(jù)內(nèi)容的要求和學生的實際，分層次地落實。

　　(四) 感悟數(shù)學思想，積累數(shù)學活動經(jīng)驗

　　數(shù)學思想蘊涵在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應用的過程中，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。學生在積極參與教學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學思想。

　　例如，分類是一種重要的數(shù)學思想。學習數(shù)學的過程中經(jīng)常會遇到分類問題，如數(shù)的分類，圖形的分類，代數(shù)式的分類，函數(shù)的分類等。在研究數(shù)學問題中，常常需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對事物共性的抽象過程。教學活動中，要使學生逐步體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標準，在分類的過程中如何認識對象的性質(zhì)，如何區(qū)別不同對象的不同性質(zhì)。通過多次反復的思考和長時間的積累，使學生逐步感悟分類是一種重要的思想。學會分類，可以有助于學習新的數(shù)學知識，有助于分析和解決新的數(shù)學問題。

　　數(shù)學活動經(jīng)驗的積累是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志。幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗是數(shù)學教學的重要目標，是學生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學活動過程的結果。數(shù)學活動經(jīng)驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數(shù)學學習活動過程中逐步積累的。

　　教學中注重結合具體的學習內(nèi)容，設計有效的數(shù)學探究活動，使學生經(jīng)歷數(shù)學的發(fā)生發(fā)展過程，是學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗的重要途徑。例如，在統(tǒng)計教學中，設計有效的統(tǒng)計活動，使學生經(jīng)歷完整的統(tǒng)計過程，包括收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、展示數(shù)據(jù)、從數(shù)據(jù)中提取信息，并利用這些信息說明問題。學生在這樣的過程中，不斷積累統(tǒng)計活動經(jīng)驗，加深理解統(tǒng)計思想與方法。

　　“綜合與實踐”是積累數(shù)學活動經(jīng)驗的重要載體。在經(jīng)歷具體的“綜合與實踐”問題的過程中，引導學生體驗如何發(fā)現(xiàn)問題，如何選擇適合自己完成的問題，如何把實際問題變成數(shù)學問題，如何設計解決問題的方案，如何選擇合作的伙伴，如何有效地呈現(xiàn)實踐的成果，讓別人體會自己成果的價值。通過這樣的教學活動，學生會逐步積累運用數(shù)學解決問題的經(jīng)驗。

　　(五)關注學生情感態(tài)度的發(fā)展

　　根據(jù)課程目標，廣大教師要把落實情感態(tài)度的目標作為己任，努力把情感態(tài)度目標有機地融合在數(shù)學教學過程之中。設計教學方案、進行課堂教學活動時，應當經(jīng)?？紤]如下問題：

　　如何引導學生積極參與教學過程?

　　如何組織學生探索，鼓勵學生創(chuàng)新?

　　如何引導學生感受數(shù)學的價值?

　　如何使學生愿意學，喜歡學，對數(shù)學感興趣?

　　如何讓學生體驗成功的喜悅，從而增強自信心?

　　如何引導學生善于與同伴合作交流，既能理解、尊重他人的意見，又能獨立思考、大膽質(zhì)疑?

　　如何讓學生做自己能做的事，并對自己做的事情負責?

　　如何幫助學生鍛煉克服困難的意志?

　　如何培養(yǎng)學生良好的學習習慣?

　　在教育教學活動中，教師要尊重學生，以強烈的責任心，嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度，健全的人格感染和影響學生;要不斷提高自身的數(shù)學素養(yǎng)，善于挖掘教學內(nèi)容的教育價值;要在教學實踐中善于用本標準的理念分析各種現(xiàn)象，恰當?shù)剡M行養(yǎng)成教育。

　　(六)合理把握“綜合與實踐”的實施

　　“綜合與實踐”的實施是以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動。它有別于學習具體知識的探索活動，更有別于課堂上教師的直接講授。它是教師通過問題引領、學生全程參與、實踐過程相對完整的學習活動。

　　積累數(shù)學活動經(jīng)驗、培養(yǎng)學生應用意識和創(chuàng)新意識是數(shù)學課程的重要目標，應貫穿整個數(shù)學課程之中。“綜合與實踐”是實現(xiàn)這些目標的重要和有效的載體。“綜合與實踐”的教學，重在實踐、重在綜合。重在實踐是指在活動中，注重學生自主參與、全過程參與，重視學生積極動腦、動手、動口。重在綜合是指在活動中，注重數(shù)學與生活實際、數(shù)學與其他學科、數(shù)學內(nèi)部知識的聯(lián)系和綜合應用。

　　教師在教學設計和實施時應特別關注的幾個環(huán)節(jié)是：問題的選擇，問題的展開過程，學生參與的方式，學生的合作交流，活動過程和結果的展示與評價等。

　　要使學生能充分、自主地參與“綜合與實踐”活動，選擇恰當?shù)膯栴}是關鍵。這些問題既可來自教材，也可以由教師、學生開發(fā)。提倡教師研制、開發(fā)、生成出更多適合本地學生特點的且有利于實現(xiàn)“綜合與實踐”課程目標的好問題。

　　實施“綜合與實踐”時，教師要放手讓學生參與，啟發(fā)和引導學生進入角色，組織好學生之間的合作交流，并照顧到所有的學生。教師不僅要關注結果，更要關注過程，不要急于求成，要鼓勵引導學生充分利用“綜合與實踐”的過程，積累活動經(jīng)驗、展現(xiàn)思考過程、交流收獲體會、激發(fā)創(chuàng)造潛能。

　　在實施過程中，教師要注意觀察、積累、分析、反思，使“綜合與實踐”的實施成為提高教師自身和學生素質(zhì)的互動過程。

　　教師應該根據(jù)不同學段學生的年齡特征和認知水平，根據(jù)學段目標，合理設計并組織實施“綜合與實踐”活動。

　　(七)教學中應當注意的幾個關系

　　1.面向全體學生與關注學生個體差異的關系

　　教學活動應努力使全體學生達到課程目標的基本要求，同時要關注學生的個體差異，促進每個學生在原有基礎上的發(fā)展。

　　對于學習有困難的學生，教師要給予及時的關注與幫助，鼓勵他們主動參與數(shù)學學習活動，并嘗試用自己的方式解決問題、發(fā)表自己的看法，要及時地肯定他們的點滴進步，耐心地引導他們分析產(chǎn)生困難或錯誤的原因，并鼓勵他們自己去改正，從而增強學習數(shù)學的興趣和信心。對于學有余力并對數(shù)學有興趣的學生，教師要為他們提供足夠的材料和思維空間，指導他們閱讀，發(fā)展他們的數(shù)學才能。

　　在教學活動中，要鼓勵與提倡解決問題策略的多樣化，恰當評價學生在解決問題過程中所表現(xiàn)出的不同水平;問題情境的設計、教學過程的展開、練習的安排等要盡可能地讓所有學生都能主動參與，提出各自解決問題的策略，并引導學生通過與他人的交流選擇合適的策略，豐富數(shù)學活動的經(jīng)驗，提高思維水平。

　　2.“預設”與“生成”的關系

　　教學方案是教師對教學過程的“預設”，教學方案的形成依賴于教師對教材的理解、鉆研和再創(chuàng)造。理解和鉆研教材，應以本標準為依據(jù)，把握好教材的編寫意圖和教學內(nèi)容的教育價值;對教材的再創(chuàng)造，集中表現(xiàn)在：能根據(jù)所教班級學生的實際情況，選擇貼切的教學素材和教學流程，準確地體現(xiàn)基本理念和課程內(nèi)容規(guī)定的要求。

　　實施教學方案，是把“預設”轉化為實際的教學活動。在這個過程中，師生雙方的互動往往會“生成”一些新的教學資源，這就需要教師能夠及時把握，因勢利導，適時調(diào)整預案，使教學活動收到更好的效果。

　　3.合情推理與演繹推理的關系

　　推理貫穿于數(shù)學教學的始終，推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程。義務教育階段要注重學生思考的條理性，不要過分強調(diào)推理的形式。

　　推理包括合情推理和演繹推理。教師在教學過程中，應該設計適當?shù)膶W習活動，引導學生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某些結論，發(fā)展合情推理能力;通過實例使學生逐步意識到，結論的正確性需要演繹推理的確認，可以根據(jù)學生的年齡特征提出不同程度的要求。

　　在第三學段中，應把證明作為探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，使學生知道合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式。“證明”的教學應關注學生對證明必要性的感受，對證明基本方法的掌握和證明過程的體驗。證明命題時，應要求證明過程及其表述符合邏輯，清晰而有條理(參見例62)。此外，還可以恰當?shù)匾龑W生探索證明同一命題的不同思路和方法，進行比較和討論，激發(fā)學生對數(shù)學證明的興趣，發(fā)展學生思維的廣闊性和靈活性。

　　4.使用現(xiàn)代信息技術與教學手段多樣化的關系

　　積極開發(fā)和有效利用各種課程資源，合理地應用現(xiàn)代信息技術，注重信息技術與課程內(nèi)容的整合，能有效地改變教學方式，提高課堂教學的效益。有條件的地區(qū)，教學中要盡可能地使用計算器、計算機以及有關軟件;暫時沒有這種條件的地區(qū)，一方面要積極創(chuàng)造條件改善教學設施，另一方面廣大教師應努力自制教具以彌補教學設施的不足。

　　在學生理解并能正確應用公式、法則進行計算的基礎上，鼓勵學生用計算器完成較為繁雜的計算。課堂教學、課外作業(yè)、實踐活動中，應當根據(jù)課程內(nèi)容的要求，允許學生使用計算器，還應當鼓勵學生用計算器進行探索規(guī)律等活動(參見例28、例50)。

　　現(xiàn)代信息技術的作用不能完全替代原有的教學手段，其真正價值在于實現(xiàn)原有的教學手段難以達到甚至達不到的效果。例如，利用計算機展示函數(shù)圖象、幾何圖形的運動變化過程;從數(shù)據(jù)庫中獲得數(shù)據(jù)，繪制合適的統(tǒng)計圖表;利用計算機的隨機模擬結果，引導學生更好地理解隨機事件以及隨機事件發(fā)生的概率;等等。在應用現(xiàn)代信息技術的同時，教師還應注重課堂教學的板書設計。必要的板書有利于實現(xiàn)學生的思維與教學過程同步，有助于學生更好地把握教學內(nèi)容的脈絡。

　　二、評價建議

　　評價的主要目的是全面了解學生數(shù)學學習的過程和結果，激勵學生學習和改進教師教學。評價應以課程目標和課程內(nèi)容為依據(jù)，體現(xiàn)數(shù)學課程的基本理念，全面評價學生在知識技能、數(shù)學思考、問題解決和情感態(tài)度等方面的表現(xiàn)。

　　評價不僅要關注學生的學習結果，更要關注學生在學習過程中的發(fā)展和變化。應采用多樣化的評價方式，恰當呈現(xiàn)并合理利用評價結果，發(fā)揮評價的激勵作用，保護學生的自尊心和自信心。通過評價得到的信息，可以了解學生數(shù)學學習達到的水平和存在的問題，幫助教師進行總結與反思，調(diào)整和改進教學內(nèi)容與教學過程。

　　(一)基礎知識和基本技能的評價

　　對基礎知識和基本技能的評價，應以各學段的具體目標和要求為標準，考查學生對基礎知識和基本技能的理解與掌握程度，以及在學習基礎知識與基本技能過程中的表現(xiàn)。在對學生學習基礎知識和基本技能的結果進行評價時，應該準確地把握“了解、理解、掌握、應用”不同層次的要求。在對學生學習過程進行評價時，應依據(jù)“經(jīng)歷、體驗、探索”不同層次的要求，采取靈活多樣的方法，定性與定量相結合、以定性評價為主。

　　每一學段的目標是該學段結束時學生應達到的要求，教師需要根據(jù)學習的進度和學生的實際情況確定具體的要求。例如，下表是對第一學段有關計算技能的基本要求，這些要求是在學段結束時應達到的，評價時應注意把握尺度，對計算速度不作過高要求。

　　第一學段計算技能評價要求

　　教師應允許學生經(jīng)過較長時間的努力，隨著數(shù)學知識與技能的積累逐步達到學段目標。在實施評價時，可以對部分學生采取“延遲評價”①的方式，提供再次評價的機會，使他們看到自己的進步，樹立學好數(shù)學的信心。

　　注：①延遲評價是指在平時學習過程中，對尚未達到目標要求的學生，可暫時不給明確的評價結果，給學生更多的機會，當取得較好的成績時再給予評價，以保護學生學習的積極性。

　　(二)數(shù)學思考和問題解決的評價

　　數(shù)學思考和問題解決的評價要依據(jù)總目標和學段目標的要求，體現(xiàn)在整個數(shù)學學習過程中。

　　對數(shù)學思考和問題解決的評價應當采用多種形式和方法，特別要重視在平時教學和具體的問題情境中進行評價。例如，在第二學段，教師可以設計下面的活動，評價學生數(shù)學思考和問題解決的能力：

　　用長為50厘米的細繩圍成一個邊長為整厘米數(shù)的長方形，怎樣才能使面積達到最大?

　　在對學生進行評價時，教師可以關注以下幾個不同的層次：

　　第一，學生是否能理解題目的意思，能否提出解決問題的策略，如通過畫圖進行嘗試;

　　第二，學生能否列舉若干滿足條件的長方形，通過列表等形式將其進行有序排列;

　　第三，在觀察、比較的基礎上，學生能否發(fā)現(xiàn)長和寬變化時，面積的變化規(guī)律，并猜測問題的結果;

　　第四，對猜測的結果給予驗證;

　　第五，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)和提出一般性問題，如，猜想當長和寬的變化不限于整厘米數(shù)時，面積何時最大。

　　為此，教師可以根據(jù)實際情況，設計有層次的問題評價學生的不同水平。例如，設計下面的問題：

　　(1)找出三個滿足條件的長方形，記錄下長方形的長、寬和面積，并依據(jù)長或寬的長短有序地排列出來。

　　(2)觀察排列的結果，探索長方形的長和寬發(fā)生變化時，面積相應的變化規(guī)律。猜測當長和寬各為多少厘米時，長方形的面積最大。

　　(3)列舉滿足條件的長和寬的所有可能結果，驗證猜測。

　　(4)猜想：如果不限制長方形的長和寬為整厘米數(shù)，怎樣才能使它的面積最大?

　　教師可以預設目標：對于第二學段的學生，能夠完成(1)(2)題就達到基本要求，對于能完成(3)(4)題的學生，則給予進一步的肯定。

　　學生解決問題的策略可能與教師的預設有所不同，教師應給予恰當?shù)脑u價。

　　(三)情感態(tài)度的評價

　　情感態(tài)度的評價應依據(jù)課程目標的要求，采用適當?shù)姆椒ㄟM行。主要方式有課堂觀察、活動記錄、課后訪談等。

　　情感態(tài)度評價主要在平時教學過程中進行，注重考查和記錄學生在不同方面的表現(xiàn)，了解學生情感態(tài)度的狀況及變化。例如，

　　●主動參與學習活動;

　　●學習數(shù)學的興趣和自信心;

　　●克服困難的勇氣;

　　●與他人合作;

　　●與同伴和老師交流

　　……

　　教師可以根據(jù)實際情況用靈活多樣的方式記錄學生情感態(tài)度的情況，用恰當?shù)姆绞浇o學生以反饋和指導。

　　(四)注重對學生數(shù)學學習過程的評價

　　學生在數(shù)學學習過程中，知識技能、數(shù)學思考、問題解決和情感態(tài)度等方面的表現(xiàn)不是孤立的，這些方面的發(fā)展綜合體現(xiàn)在數(shù)學學習過程之中。在評價學生每一個方面表現(xiàn)的同時，要注重對學生學習過程的整體評價，分析學生在不同階段的表現(xiàn)特征和發(fā)展變化。評價時應采取靈活的方式記錄、保留和分析學生在不同方面的表現(xiàn)。例如，

　　●主動參與學習活動;

　　●提出問題和分析問題;

　　●獨立思考問題;

　　●與他人合作交流;

　　●嘗試從不同角度思考問題;

　　●有條理地表述自己的思考過程;

　　●傾聽和理解別人的思路;

　　●反思自己思考過程的意識;

　　……

　　還可以通過建立成長記錄等方式，使學生記錄和反思學習數(shù)學的情況與成長的歷程。

　　(五)體現(xiàn)評價主體的多元化和評價方式的多樣化

　　評價主體的多元化是指教師、家長、同學及學生本人都可以作為評價者，可以綜合運用教師評價、學生自我評價、學生相互評價、家長評價等方式，對學生的學習情況和教師的教學情況進行全面的考查。例如，每一個學習單元結束時，教師可以要求學生自我設計一個“學習小結”，用合適的形式(表、圖、卡片、電子文本等)歸納學到的知識和方法，學習中的收獲，遇到的問題，等等。教師可以通過學習小結對學生的學習情況進行評價，也可以組織學生將自己的學習小結在班級展示交流，通過這種形式總結自己的進步，反思自己的不足以及需要改進的地方，汲取他人值得借鑒的經(jīng)驗。條件允許時，可以請家長參與評價。

　　評價方式多樣化體現(xiàn)在多種評價方法的運用，包括書面測驗、口頭測驗、開放式問題、活動報告、課堂觀察、課后訪談、課內(nèi)外作業(yè)、成長記錄等等(參見例82)。在條件允許的地方，也可以采用網(wǎng)上交流的方式進行評價。每種評價方式都具有各自的特點，教師應結合學習內(nèi)容及學生學習的特點，選擇適當?shù)脑u價方式。例如，可以通過課堂觀察了解學生學習的過程與學習態(tài)度，從作業(yè)中了解學生基礎知識與基本技能掌握的情況，從探究活動中了解學生獨立思考的習慣和合作交流的意識，從成長記錄中了解學生的發(fā)展變化。

　　(六)恰當?shù)爻尸F(xiàn)和利用評價結果

　　評價結果的呈現(xiàn)應采用定性與定量相結合的方式。第一學段的評價應當以描述性評價為主，第二學段采用描述性評價和等級評價相結合的方式，第三學段可以采用描述性評價和等級(或百分制)評價相結合的方式。

　　評價結果的呈現(xiàn)和利用應有利于增強學生學習數(shù)學的自信心，提高學生學習數(shù)學的興趣，使學生養(yǎng)成良好的學習習慣，促進學生的發(fā)展。評價結果的呈現(xiàn)，應該更多地關注學生的進步，關注學生已經(jīng)掌握了什么，獲得了哪些提高，具備了什么能力，還有什么潛能，在哪些方面還存在不足，等等。

　　例如，下面是對某同學第二學段關于“統(tǒng)計與概率”學習的書面評語：

　　王小明同學，本學期我們學習了收集、整理和表達數(shù)據(jù)。你通過自己的努力，能收集、記錄數(shù)據(jù)，知道如何求平均數(shù)，了解統(tǒng)計圖的特點，制作的統(tǒng)計圖很出色，在這方面表現(xiàn)突出。但你在使用語言解釋統(tǒng)計結果方面還存在一定差距。繼續(xù)努力，小明! 評定等級：B。

　　這個以定性為主的評語，實際上也是教師與學生的一次情感交流。學生閱讀這一評語，能夠獲得成功的體驗，樹立學好數(shù)學的自信心，也知道自己的不足和努力方向。

　　教師要注意分析全班學生評價結果隨時間的變化，從而了解自己教學的成績和問題，分析、反思教學過程中影響學生能力發(fā)展和素質(zhì)提高的原因，尋求改善教學的對策。同時，以適當?shù)姆绞?，將學生一些積極的變化及時反饋給學生。

　　(七)合理設計與實施書面測驗

　　書面測驗是考查學生課程目標達成狀況的重要方式，合理地設計和實施書面測驗有助于全面考查學生的數(shù)學學業(yè)成就，及時反饋教學成效，不斷提高教學質(zhì)量。

　　1.對于學生基礎知識和基本技能達成情況的評價，必須準確把握課程內(nèi)容中的要求。例如，知道∣a∣的含義(a表示有理數(shù))，了解二次根式(根號下僅限于數(shù))加、減、乘、除運算法則。設計試題時應符合這種要求。

　　課程內(nèi)容中的下列選學內(nèi)容，不得列入考查(考試)范圍：能解簡單的三元一次方程組，了解一元二次方程的根與系數(shù)的關系，知道給定不共線三點的坐標可以確定一個二次函數(shù)，了解平行線性質(zhì)定理的證明，探索并證明垂徑定理和切線長定理，了解相似三角形判定定理的證明。

　　對于相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理的考查，本標準的要求是“了解”，不要求用這些定理證明其他命題。

　　此外，在考試中，幾何命題的證明應以“圖形的性質(zhì)”中所列出的基本事實和定理作為依據(jù)。

　　對基礎知識和基本技能的考查，要注重考查學生對其中所蘊涵的數(shù)學本質(zhì)的理解，考查學生能否在具體情境中合理應用。因此，在設計試題時，應淡化特殊的解題技巧，不出偏題怪題。

　　2.在設計試題時，應該關注并且體現(xiàn)本標準的設計思路中提出的幾個核心詞：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想，以及應用意識和創(chuàng)新意識。

　　3.根據(jù)評價的目的合理地設計試題的類型，有效地發(fā)揮各種類型題目的功能。例如，為考查學生從具體情境中獲取信息的能力，可以設計閱讀分析的問題;為考查學生的探究能力，可以設計探索規(guī)律的問題;為考查學生解決問題的能力，可以設計具有實際背景的問題;為了考查學生的創(chuàng)造能力，可以設計開放性問題。

　　4.在書面測驗中，積極探索可以考查學生學習過程的試題，了解學生的學習過程。

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