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　　2020年北京市中考數(shù)學(xué)試題含答案解析

　　2020年是北京中考“五選三”考試模式下的最后一年，也是向初中學(xué)業(yè)水平考試過渡的一年。今年的北京市中考數(shù)學(xué)試卷在總結(jié)近五年命題指導(dǎo)思想的基礎(chǔ)上，立足于基礎(chǔ)的考查，合理把握試題難度，實(shí)現(xiàn)由中考向初中學(xué)業(yè)水平考試的平穩(wěn)過渡。

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　　 關(guān)注疫情對考生的影響，

　　 科學(xué)設(shè)計試卷，合理把控難度

　　 疫情打亂了考生的復(fù)習(xí)節(jié)奏，改變了考生的學(xué)習(xí)方式，影響了考生的復(fù)習(xí)效果。命題中充分考慮疫情給學(xué)生帶來的影響，充分評估考生的知識水平和能力水平。整體設(shè)計試卷，合理把控全卷難度和各知識板塊難度。試題設(shè)問方式易于學(xué)生入手，層次分明，適度綜合，讓不同水平的學(xué)生都有充分發(fā)揮的空間，增強(qiáng)學(xué)生的獲得感。

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　　 立足于“四基”，考查主干知識，

　　 體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維，回歸知識本質(zhì)

　　 試卷重點(diǎn)考查基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗。在此基礎(chǔ)之上，重點(diǎn)考查支撐學(xué)科體系的主干知識。以考查數(shù)學(xué)思維為核心，注重知識整體性與知識之間內(nèi)在聯(lián)系的考查，突出對數(shù)學(xué)知識形成與發(fā)展過程及靈活運(yùn)用的考查，體現(xiàn)思維深度。試題立意，以核心概念為抓手，以培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力為目標(biāo)，考查學(xué)生對知識本質(zhì)的理解，從數(shù)學(xué)的角度思考問題和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)習(xí)回歸知識本質(zhì)。

　　 （1）關(guān)注“四基”要求體現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

　　 試題的命制注重對數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率等基礎(chǔ)知識的考查，在考查的過程中，突出對基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗的考查。

　　 在基本技能的學(xué)習(xí)中，學(xué)生不僅要掌握技能操作的程序和步驟，還要理解其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理。如尺規(guī)作圖，不僅要求學(xué)生能依據(jù)作法準(zhǔn)確作出圖形，還要求學(xué)生利用已掌握的數(shù)學(xué)原理解釋尺規(guī)作圖的作圖原理，這一過程中體現(xiàn)了學(xué)生的不同思維水平。如第20題，以“求作線段B，使得點(diǎn)P在直線CD上，且∠ABP=∠BAC”的尺規(guī)作圖過程為背景，考查了尺規(guī)作圖中依據(jù)作法作圖、推理論證的完整過程。

　　 （2）關(guān)注過程體現(xiàn)本質(zhì)

　　 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)之一是讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，理解知識本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想。今年數(shù)學(xué)試題的設(shè)計關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的完整過程，將學(xué)生日常學(xué)習(xí)活動經(jīng)驗濃縮于試題中，在學(xué)習(xí)過程中理解知識本質(zhì)。如第24題，以“探究函數(shù)性質(zhì)的全過程”為背景，考查研究函數(shù)的內(nèi)容與方法。引導(dǎo)積極地關(guān)注數(shù)學(xué)教學(xué)活動，關(guān)注知識本質(zhì)，通過直觀地操作活動和多層次地思維活動，從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識。

　　 又如第8題，以“容器注水”為背景，考查函數(shù)是研究運(yùn)動與變化的數(shù)學(xué)模型，它來源于實(shí)際又服務(wù)于實(shí)際，緊密聯(lián)系實(shí)際。從實(shí)際問題中抽象出函數(shù)的有關(guān)概念，又運(yùn)用函數(shù)解決實(shí)際問題，這是函數(shù)學(xué)習(xí)的主線，貫穿于整個函數(shù)學(xué)習(xí)過程當(dāng)中。

　　 （3）關(guān)注思維品質(zhì)體現(xiàn)思維深度

　　 數(shù)學(xué)思維是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，試題通過對數(shù)學(xué)思維深度的考查，考查學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)的思維過程。如第22題，本題主要從運(yùn)動與變化的角度，結(jié)合函數(shù)圖象，考查學(xué)生從特殊到一般、從直觀到抽象、從感性到理性的思維過程。再如第26題，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對稱性，分析滿足條件的函數(shù)圖象的特征，探究對稱軸的取值范圍問題。這些試題的設(shè)計思想都來源于課堂教學(xué)，來源于課本教材。

　　 又如第27題，試題關(guān)注學(xué)生在解決一個綜合性問題的過程中，通過操作、觀察、猜想得到結(jié)論，再用演繹推理證明結(jié)論成立，考查學(xué)生的思維深度。考查學(xué)生在經(jīng)歷猜想、嘗試等數(shù)學(xué)活動中，發(fā)現(xiàn)、提出問題，分析、解決問題的能力。題目從運(yùn)動變化和圖形變換的角度，挖掘教材中知識的內(nèi)在聯(lián)系，用綜合的方法把知識串在一起，發(fā)揮了促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的功能，同時豐富的試題背景，提供給學(xué)生多角度思考問題的機(jī)會，提供給學(xué)生展示自我的舞臺。試題難度設(shè)置適中，命制思想源于教材。3

　　 關(guān)注育人功能，體現(xiàn)積極導(dǎo)向

　　 數(shù)學(xué)學(xué)科承擔(dān)著落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)。今年的數(shù)學(xué)試卷選取合適的素材，將社會主義核心價值觀自然融入到試題中，發(fā)揮試題的育人功能。如第2題，以“2020年6月23日，北斗三號最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星成功發(fā)射升空”為背景，考查了科學(xué)記數(shù)法，讓學(xué)生在解決問題的同時了解我國最新的科技發(fā)展成就。

　　 同時，選取學(xué)生常見的學(xué)習(xí)內(nèi)容，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。如第28題，定義了“平移距離”，須先研究特殊圖形的“平移距離”，繼而研究一類“平移距離”的特性，再從已知“平移距離”出發(fā)逆向研究相關(guān)參數(shù)，這是研究新問題、學(xué)習(xí)新知識的過程。這種試題不僅局限于對知識本身的考查，而是通過創(chuàng)設(shè)適宜的情境，以實(shí)踐操作、探索發(fā)現(xiàn)、證明猜想為活動主線，讓學(xué)生經(jīng)歷問題探究和解決的一般過程，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn)。

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　　 關(guān)注實(shí)踐能力，體現(xiàn)應(yīng)用價值

　　 現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量有關(guān)的問題，通過建立數(shù)學(xué)模型用數(shù)學(xué)的方法予以解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。如第16題，以“劇場購票”為背景，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的能力。

　　 另外，數(shù)學(xué)試卷擴(kuò)大試題選材范圍，加強(qiáng)與學(xué)生生活實(shí)際的聯(lián)系。如第25題，以“某小區(qū)廚余垃圾分出量”為背景，考查認(rèn)識和理解統(tǒng)計圖表，挖掘統(tǒng)計圖表蘊(yùn)含的信息，從數(shù)據(jù)中提取信息，靈活地運(yùn)用已學(xué)的知識分析圖表，進(jìn)行統(tǒng)計推理，考查了數(shù)據(jù)分析的能力。同時，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中積累統(tǒng)計活動經(jīng)驗，加深理解統(tǒng)計思想與方法，理解統(tǒng)計量在分析數(shù)據(jù)分布情況中的作用與意義。

　　 2020年北京市高級中等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試卷的設(shè)計遵循《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求和闡述，緊密聯(lián)系北京市初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際。北京卷在試卷結(jié)構(gòu)、題型分布、分?jǐn)?shù)設(shè)置等方面保持穩(wěn)定，難度預(yù)設(shè)和梯度設(shè)計細(xì)致合理。試題設(shè)問方式易于學(xué)生入手，層次分明，適度綜合，體現(xiàn)應(yīng)用，讓不同水平的學(xué)生都有充分發(fā)揮的空間。

　　 一、保持穩(wěn)定，優(yōu)化結(jié)構(gòu)，穩(wěn)中求變，變中求新

　　 北京卷依然是由選擇題、填空題和解答題三部分組成，每一部分題型難度設(shè)計符合從易到難的分布，有利于穩(wěn)定考生心態(tài)，正常發(fā)揮。試題延續(xù)了“穩(wěn)中求變，變中求新”的特點(diǎn)，體現(xiàn)了“保持穩(wěn)定，優(yōu)化結(jié)構(gòu)”的原則。

　　 北京卷從考試內(nèi)容來看，依然延續(xù)考查主干知識，以主干知識為抓手，不考查旁枝末節(jié)的知識。重點(diǎn)考查基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗，適度體現(xiàn)靈活運(yùn)用。例如26題，重點(diǎn)考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題的能力。從設(shè)問方式、小題的數(shù)量、思考的角度來看，試題整體平緩向上，減少了起伏。例如23題是圓的綜合題，24題是函數(shù)的綜合題和25題是統(tǒng)計的綜合題與去年相比在位置上有了調(diào)整，從難度上來看明顯符合學(xué)生的答題心理。從試題呈現(xiàn)方式來看，試題的表述形式簡潔、規(guī)范，符合初中學(xué)生的理解水平，圖文準(zhǔn)確并相互匹配。題目的設(shè)計貼近學(xué)生實(shí)際，符合學(xué)生的思維方式，易上手，與去年試卷相比閱讀量有了明顯的減少，不給學(xué)生制造閱讀上的障礙。試題很好的體現(xiàn)了基礎(chǔ)題和創(chuàng)新題的關(guān)系。

　　 二、立足四基關(guān)注主干知識，平穩(wěn)推進(jìn)凸顯學(xué)科思維

　　 北京卷中大多數(shù)的試題以學(xué)生熟悉的背景和形式呈現(xiàn)，對學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展所必需的四基進(jìn)行了較全面的考查，例如4，10，13，15，23題，這些試題既是對課堂教學(xué)效果和學(xué)生學(xué)習(xí)效果的檢驗，同時也是對教師教學(xué)工作的引導(dǎo)，通過對北京卷的研究，教師應(yīng)該立足于數(shù)學(xué)課程的核心和本質(zhì)進(jìn)行教學(xué)，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)設(shè)計教學(xué)活動，要切實(shí)落實(shí)好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識。

　　 北京卷對初中數(shù)學(xué)主干知識的覆蓋較好，突出核心知識的重點(diǎn)考查，重視對基本概念、基本原理的考查，淡化技巧，突出通性通法，有意識地選擇教材中的素材，凸顯教材的重要性。試卷依然比較重視對函數(shù)部分的考查，例如8，13，22，24，26題，立足于函數(shù)的基本概念、函數(shù)圖象和性質(zhì)，全面考查學(xué)生對函數(shù)基本知識掌握的情況，由數(shù)形結(jié)合來解決問題的能力，對教學(xué)有較好的引領(lǐng)作用，有助于教師課堂教學(xué)改進(jìn)。北京卷中“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”和“統(tǒng)計與概率”所占比重較為合理，體現(xiàn)了命題者依據(jù)課標(biāo)和教材命題的指導(dǎo)思想，有利于教師對數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的把握。北京卷在基礎(chǔ)試題中減少了多個知識點(diǎn)綜合的題目，大部分試題重在考查學(xué)生基本概念和基本性質(zhì)，同時關(guān)注了數(shù)學(xué)思維能力的考查，體現(xiàn)多思少算的命題意圖。例如6，11題考查了學(xué)生數(shù)感，1，4，15題考查了學(xué)生空間觀念、幾何直觀，25題考查了學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念，12，18，19題考查了學(xué)生運(yùn)算能力，16，21，23題考查了學(xué)生推理能力，7，8，14題考查了學(xué)生模型思想。這對課堂教學(xué)中回歸教材，講清基本知識和方法，注重教學(xué)落實(shí)有很好的指導(dǎo)意義。

　　與2018、2019年的試題相比較，2020年的北京卷在基礎(chǔ)題的數(shù)量和考查方式上有較明顯的變化，這樣的變化更有利于學(xué)生發(fā)揮出應(yīng)有的數(shù)學(xué)水平，讓大部分的學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)充滿信心。

　　 三、突出數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，關(guān)注學(xué)習(xí)過程，引導(dǎo)課堂教學(xué)

　　 數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的。今年北京卷的設(shè)計注重學(xué)生未來的發(fā)展，突出了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的考查。

　　 例如24題，仍然以函數(shù)學(xué)習(xí)的全過程為背景，整體把握函數(shù)學(xué)習(xí)的主線。學(xué)生在研究一個具體函數(shù)時，首先分析函數(shù)表達(dá)式，對函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行初步的分析、猜想，在此基礎(chǔ)上，經(jīng)歷列表、描點(diǎn)、連線，畫函數(shù)圖象的過程，從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，并加深理性認(rèn)識，從而數(shù)形結(jié)合地解決問題。試題給不同層次的學(xué)生以充分展示個人能力水平的空間，凸顯了數(shù)學(xué)學(xué)科的特色，體現(xiàn)了幾何直觀和推理能力的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。與2018，2019年的試題相比較，適當(dāng)增加對函數(shù)表達(dá)式的理性分析，突出研究方法的一致性，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展。例如25題的第（3）問，以廚余垃圾分出量為背景，考查方差的學(xué)習(xí)過程，突出數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。試題引導(dǎo)教學(xué)關(guān)注積極的學(xué)習(xí)過程，關(guān)注知識本質(zhì)，將數(shù)學(xué)教學(xué)活動重心從關(guān)注教轉(zhuǎn)到關(guān)注學(xué)，放在促進(jìn)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)上，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，使學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，自覺地發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

　　 四、關(guān)注實(shí)踐能力，突出數(shù)學(xué)應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)育人功能

　　 北京的學(xué)生視野廣，信息量大，在各種各樣現(xiàn)實(shí)情境中表達(dá)、運(yùn)用和解釋數(shù)學(xué)的能力較強(qiáng)。北京卷進(jìn)一步豐富試題的選材范圍，加強(qiáng)與學(xué)生生活實(shí)際的聯(lián)系，試題貼近生活，注重考查知識的運(yùn)用和實(shí)踐，突出數(shù)學(xué)應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)育人功能。其中2，7，8，16，25題共五道試題考查了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，約占試題總數(shù)的18%。

　　 有三道試題注重數(shù)學(xué)知識與生活實(shí)際的聯(lián)系，貼近生活，背景真實(shí)，注重考查知識的運(yùn)用和實(shí)踐。7題以學(xué)生非常熟悉的摸球試驗為背景，考查學(xué)生對于概率意義的理解，以及用列舉法求概率的方法。8題以向容器內(nèi)注水，研究容器內(nèi)水面高度與注水時間的關(guān)系為背景，考查了學(xué)生對于函數(shù)概念的理解。16題來源于實(shí)際生活中的購票問題，學(xué)生需要在理解購票規(guī)則的基礎(chǔ)上，做出理性的分析和判斷，并且結(jié)論開放不唯一，為學(xué)生提供了充分的思考空間。

　　 有兩道試題將我國的科技發(fā)展和環(huán)保理念融入其中，充分發(fā)揮試題的育人功能。2題以北斗三號最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星的成功發(fā)射為背景，考查科學(xué)記數(shù)法的知識，讓學(xué)生在解決問題的同時了解我國科技發(fā)展的現(xiàn)狀；25題以垃圾分類問題為背景，考查平均數(shù)和方差的統(tǒng)計意義、數(shù)據(jù)分析的觀念，也增強(qiáng)了學(xué)生用數(shù)據(jù)表述及解決現(xiàn)實(shí)問題的能力，同時也對學(xué)生進(jìn)行了垃圾分類的教育，提高了環(huán)保意識?，F(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量有關(guān)的問題，通過建立數(shù)學(xué)模型用數(shù)學(xué)的方法予以解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值和育人功能。

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