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【628568.com--畢業(yè)論文】

概率，亦稱“或然率”，它是反映隨機事件出現(xiàn)的可能性大小。隨機事件是指在相同條件下，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件?；バ欧段木W(wǎng)今天為大家精心準備了概率論論文，希望對大家有所幫助!

　　概率論論文

　　【摘要】本文論述了概率統(tǒng)計的某些知識在實際問題中的應用，主要圍繞公平性、朋友、巧合、決策等方面，從獨特的視角對現(xiàn)實生活中的一些問題進行深入解讀，并提供了解決問題的良好思路，揭示概率統(tǒng)計與實際生活的密切聯(lián)系，為應用概率知識解決實際問題、數(shù)學模型的建立、學科知識的遷移奠定一定的理論基礎。

　　【關鍵詞】概率論公平性巧合決策

　　Thetheoryofprobabilityinlife

　　YuJiashang

　　【Abstract】Inthisarticle,thewriterhasmadeadiscussiononsomeknowledgeabouttheapplicationoftheprobabilityStatisticinthefactualproblem,mainroundingequitablequality,friend,coincidenceanddecision-makingtohaveunscrambledsomeprobleminfactuallifefromthespecialangle.Inaddition,theexcellentwayforsolvingthathasalsobeenoffered,whichhaslaidacertaintheoreticfoundationforapplyingtheprobabilityknowledgetosolvefactualproblems,buildmathematicsmodelandtransfersubjectknowledgeandopeningoutthecloserelationbetweenprobabilityStatisticandfactualproblems.

　　【Keywords】TheoryofprobabilityEquitablequalityCoincidenceDecision-making

　　引言：概率論在一定的社會條件下，通過人類的社會實踐和生產(chǎn)活動發(fā)展起來，被廣泛應用于各個領域，在國民經(jīng)濟的生產(chǎn)和生活中起著重要的作用。正如英國邏輯學家和經(jīng)濟學家杰文斯（Jevons，1835－1882）所說：概率論是“生活真正的領路人，如果沒有對概率的某種估計，我們就寸步難行，無所作為”。在日常生活中，周圍的許多事物都和概率有著千絲萬縷的聯(lián)系，運用概率論可解讀生活現(xiàn)象，透視社會規(guī)則，掌握制勝的生存哲學。本文將從公平性、朋友、巧合、決策等方面談談概率在生活中的應用。

　　1．概率與公平性。中獎的公平性是指中獎結果與排隊的先后順序無關。請看下面的問題：有獎券n張，其中有m張有獎?，F(xiàn)有n個人排隊依次抽取一張且不放回，問每個人中獎的機會是否相同？

　　分析：記（）表示第個人中獎，利用全概率公式

　　利用全概率公式計算時，由于完備事件組中事件的個數(shù)為，隨著k的增大，計算難度越來越大，當時可用下面的方法分析：

　　首先考慮m=1的情形，即有n張獎券只有一張有獎。

　　記，則，顯然。

　　利用全概率公式

　　=

　　==

　　再考慮m>1的情形：此時將m個獎中的任意m-1個改成其他的獎（共有m個獎）。于是上述模型轉(zhuǎn)化為n張獎券，一個具體獎的情形，由上面的結果，不難得到。

　　綜上所述。

　　在日常生活中，我們常用類似于上述中獎的方式?jīng)Q定一件事，如運動會中跑道的確定，比賽時歌手的出場順序。上述結果表明排隊時不必爭先恐后，因為排隊不分先后，中獎的結果是相同的，對每個人來說是公平合理的。

　　再來看一個問題：甲、乙、丙三人按下列規(guī)則進行比賽：第一局由甲、乙兩人參加比賽而丙輪空，由第一局的優(yōu)勝者與丙進行第二局比賽，失敗者輪空，比賽用這種方法一直進行到其中一個連勝兩局為止，連勝兩局者視為比賽的優(yōu)勝者。若甲、乙、丙勝每局的概率為，問這種規(guī)則公平嗎？

　　分析：因為甲、乙獲勝的可能性是相等的，可以一起考慮，這樣事件發(fā)生的條件分三種：“丙勝兩局，其他人各勝一局”；“丙勝一局，其他人各勝兩局”；“甲、乙、丙各勝一局”。在第三個條件下，甲乙丙勝局數(shù)相同，可全部抵消，相當于從頭開始，所以在這個條件下丙獲勝的概率就是：

　　設E1=“丙勝兩局，其他人各勝一局”，E2=“丙勝一局，其他人各勝兩局”，E3=“甲、乙、丙各勝一局”。A=“甲獲勝”，B=“乙獲勝”，C=“丙獲勝”則：

　　=

　　解得

　　可見計算比賽獲勝的概率時，要分清比賽的特點，有針對性地去計算。這個例子告訴我們，運用概率論可解讀生活現(xiàn)象，透視社會規(guī)則，掌握制勝的生存哲理。

　　2．朋友中的概率論。朋友是我們生活中的一部分，有了朋友，我們的生活才會充滿陽光；朋友，值得我們珍惜一生！

　　2．1人人都會找到生活中的朋友，因為有伯努利實驗模型。根據(jù)伯努利實驗模型，假設我們找到朋友的概率是0.00001，但是由于我們每天都在堅持不懈地重復試驗（我們每天都在遇見不同的人），我們最終能遇見的概率就會很大。假設我們每天遇見135個不同的人（即做135次試驗），一年我們就做了135×365=49275次重復試驗。根據(jù)獨立重復試驗n次發(fā)生k次的概率公式得50000×0.00001×0.606535=0.3032675。

　　這就是我們在一年內(nèi)找到朋友的幾率。況且我們可不只用一年來尋找。所以，幾乎每個人都能找到自己的朋友，上帝是公平的。

　　2．2有的朋友可以使我們一生去珍惜，因為有切比雪夫不等式。在每次實驗中，事件：“遇到朋友的事件記為A”發(fā)生的概率為0.00001，利用切比雪夫不等式估計，在一年中，事件A發(fā)生的次數(shù)在0－20之間的概率。一年中，我們每天遇見135個不同的人，一年就做了135×365=49275次重復實驗。

　　用x表示一年獨立實驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則

　　X－B(n,P)n=50000P=0.00001

　　E(X)=np=0.5，D(X)=np(1-P)=0.499995

　　先把事件{0

　　{0

　　在切比雪夫不等式中，

　　P{0

　　即在一年獨立實驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)為1的概率不小于0.00002。

　　在這里我們可以看出，一年中找到朋友雖然是小概率事件，但也不是不能發(fā)生的。反過來講，一年中找到自己的朋友不容易，那我們就要好好珍惜一生。

　　3．生活中的巧合問題。在42位美國總統(tǒng)中，有兩個人生日相同，一年的天數(shù)遠大于42，怎么會如此巧合呢？下面我們用概率來解釋：

　　例：某班有n個人（n≤365），問至少有兩個人的生日在同一天的概率為多大？

　　本題屬于古典概型中的投球問題，假定一年按365天計算，容易算得對于不同的一些值，計算得相應的，如下表：

　　n10202330405055

　　0.120.410.510.710.890.970.99

　　由表可以看出，當班級人數(shù)為23時，就有半數(shù)以上的班級發(fā)生這種事情，而當班級人數(shù)達到55時，幾乎有兩個人的生日在同一天。所以，在四十多位總統(tǒng)中生日相同，不足為奇。

　　4．概率與決策。決策就是根據(jù)一定的理論和方法，系統(tǒng)分析主客觀條件，提出各種行動方案，從經(jīng)濟和費用兩個方面進行比較評價，從中選擇最優(yōu)方案，從而做出決定。

　　例：某商店根據(jù)以往的經(jīng)驗預測在未來一段時間內(nèi)商品暢銷和滯銷的概率分別為0.4、0.6?，F(xiàn)有兩種促銷方案：①采用便民措施，提高服務質(zhì)量，預計可在商品暢銷時獲利6萬元，在商品滯銷時獲利2萬元。②翻建商店擴大營業(yè)場所，預計可在商品暢銷時獲利10萬元，在商品滯銷時損失4萬元。經(jīng)過一段時間的試銷發(fā)現(xiàn)：原來認為暢銷的商品中實際暢銷與滯銷的概率分別為0.6、0.4，原來認為滯銷的商品中實際暢銷與滯銷的概率分別為0.3、0.7。根據(jù)這一信息我們應采取哪種方案？

　　解：由全概率公式，可求得商品在試銷過程中實際暢銷、滯銷的概率分別為P1、P2，則

　　又由貝葉斯公式可求得試銷過程中實際暢銷、滯銷的商品被預測為暢銷、滯銷的概率分別為則

　　可求出在試銷過程中實際暢銷的商品采取第一方案與第二方案所獲得的均值為，則

　　可求出在試銷過程中實際滯銷的商品采取第一方案與第二方案所獲得的均值為，則

　　由此可知無論商品暢銷還是滯銷，第一種方案均值較大，故采取第一種方案。

　　上面只是列舉了概率在實際應用中的一些小片段，然而，作為一門獨立的學科，概率的應用已經(jīng)隨處可見。尤其隨著科技飛速發(fā)展，在實際問題中的其他方面也正在或?qū)⒁l(fā)揮它應有的作用。

　　參考文獻

　　1魏宗舒等編.概率論和數(shù)理統(tǒng)計教程[M].高等教育出版社,2003

　　2龍永江主編.概率論和數(shù)理統(tǒng)計教程[M].高等教育出版社,2004

　　3程民德主編.《概率論與解題指南》[M].上?？茖W出版社,1997.8

　　概率論論文

　　摘要:長期以來,概率論一直被認為是從賭博游戲中產(chǎn)生的。論文但事實上,賭博游戲由來已久,而概率論卻直到17世紀末才誕生。這說明賭博并不是概率論產(chǎn)生的決定性因素。概率論的形成是多種因素結合的結果。文章的目的即在于對這些產(chǎn)生條件進行分析,從而使人們能夠清楚地了解影響概率論產(chǎn)生的各種關鍵性因素。

　　關鍵詞:獨立隨機過程;計數(shù)系統(tǒng);歸納法;保險業(yè)

　　概率論是一門應用非常廣泛的學科。在數(shù)學史上,它的產(chǎn)生是以帕斯卡和費馬在1654年的七封通信為標志的。由于這些信件中所解決的問題多是與賭博有關的點數(shù)問題,因此人們總是把概率論的產(chǎn)生歸功于賭博這項機遇游戲。但考古學發(fā)現(xiàn)告訴我們,賭博游戲早在文明初期就已經(jīng)存在了,迄今已有幾千年的歷史,而概率論從誕生至今不過三百余年,這說明賭博并不是概率論產(chǎn)生的決定性條件。在從賭博出現(xiàn)到概率論產(chǎn)生之間的這段“空白”期,必定還有一些十分關鍵的因素正在孕育之中。那么這些因素是什么?換句話說,需要具備哪些先決條件,概率論才能得以形成?

　　一獨立隨機過程的出現(xiàn)

　　對概率論而言,兩個最主要的概念就是獨立性和隨機性[1]。概率論是從研究古典概型開始的,它所涉及的研究對象是大量的獨立隨機過程。通過對這些過程中出現(xiàn)的問題的解決,概率理論體系才逐漸地建立起來。因此要考察概率論的產(chǎn)生條件,我們首先應當對獨立隨機過程的產(chǎn)生有充分的了解。

　　事實上,這種過程的雛形早在原始社會就已經(jīng)存在了,那時的占卜師們使用動物的趾骨作為占卜工具,將一個或多個趾骨投擲出去,趾骨落地后的不同形狀指示神對人事的不同意見。由于投擲趾骨這個過程所產(chǎn)生的結果具有不可預測性,而每次投擲的結果也互不影響,這與我們今天投擲骰子的基本原理相當,因此趾骨可以被看作是骰子的雛形。但是由于趾骨形狀的規(guī)則性較差,各種結果出現(xiàn)的機率不完全相同(即不具備等可能性),所以趾骨產(chǎn)生的隨機過程還不是我們今天意義上的獨立隨機過程。加之趾骨作為一種占卜工具,其本身具有神圣的地位,普通人不可能輕易使用,這也在某種程度上阻礙了人們對隨機過程的認識。

　　隨著社會的進步和文明的發(fā)展,骰子變得越來越普遍,不僅數(shù)量增多,規(guī)則性也日益精良,此時它已不再是一件神圣的器具而逐漸成為普通大眾的日常用具。從原理上看,只要一枚骰子是質(zhì)地均勻的,它就可以產(chǎn)生一系列標準的獨立隨機過程。這些過程具備良好的性質(zhì)(獨立性、隨機性、等可能性),是進行概率研究的理想對象。如果經(jīng)常接觸這些隨機過程,就很有可能從中發(fā)現(xiàn)某些規(guī)律性。實際上,通過對骰子的研究我們確實發(fā)現(xiàn)了一些有趣的現(xiàn)象。在考古出土的骰子當中,有一些被證明是用于賭博的工具,它們的形狀規(guī)則而質(zhì)地卻不均勻,也就是說,骰子的重心并不在其幾何中心?？梢韵胂?如果骰子的某一面較重,則其對面朝上的機率就會增大,這種骰子明顯是為了賭博時用于作弊。而從另一個角度看,如果古代人知道質(zhì)地不均勻的骰子產(chǎn)生各個結果的可能性不同,那么他們必定清楚一個均勻的骰子產(chǎn)生任何一個結果的機率是相等的。也就是說,經(jīng)常從事賭博的人必然可以通過大量的游戲過程,意識到擲骰子所得到的結果具有某種規(guī)律性,并且這種規(guī)律性還可以通過改變骰子的質(zhì)地而得到相應的改變。雖然古代人的這些意識還只停留在經(jīng)驗總結的水平上,卻不得不承認這是一種最原始的概率思想。

　　賭博游戲存在的時間之長、范圍之廣、形式之多令人驚訝。但有如此眾多的人沉迷于這種游戲活動,也在客觀上積累了大量的可供學者進行研究的隨機過程。更為重要的是,

　　在進行賭博的過程中,或許是受到經(jīng)濟利益的驅(qū)使,已經(jīng)開始有人試圖解開骰子的奧秘。意大利數(shù)學家卡爾達諾就是其中的一位。他本人是個大賭徒,嗜賭如命,但他卻具有極高的數(shù)學天分。在賭博的過程中,卡爾達諾充分發(fā)揮了他的數(shù)學才能,研究可以常勝不輸?shù)姆椒ā?jù)說他曾參加過這樣一種賭法:把兩顆骰子擲出去,以每個骰子朝上的點數(shù)之和作為賭的內(nèi)容。那么,賭注下在多少點上最有利?

　　兩個骰子朝上的面共有36種可能,點數(shù)之和分別為2～12共11種,從上圖可知,7位于此六階矩陣的對角線上,它出現(xiàn)的概率為6/36=1/6,大于其他點數(shù)出現(xiàn)的概率,因此卡爾達諾預言說押7最好。這種思想今天看來很簡單,但在當時卻是很杰出的。他還以自己豐富的實踐經(jīng)驗為基礎,寫成了全面探討賭博的《機遇博奕》(LiberdeLudoAleae英譯為TheBookofGameofChance)一書,書中記載了他研究賭博的全部成果,并且明確指出骰子應為“誠實的”(honest),即六個面出現(xiàn)的機會相等,以便在此基礎上研究擲多粒骰子的等可能結果數(shù)[2]。

　　這些實例充分說明,賭博曾對概率論的產(chǎn)生起過積極的作用。這可能就是人們在談到概率論時總是把它與賭博聯(lián)系在一起的緣故吧。但是我們應該認識到,賭博的價值并不在于其作為一種游戲的娛樂作用,而在于這種機遇游戲的過程實際上就是良好的獨立隨機過程。只有出現(xiàn)了獨立隨機過程,概率論才有了最初的研究對象。而概率論也的確是在解決機遇游戲中出現(xiàn)的各種問題的基礎上建立起自己的理論體系的。因此在概率論的孕育期,可以作為一種模型進行研究的機遇游戲過程即獨立隨機過程的出現(xiàn)是概率論得以產(chǎn)生的一個重要前提條件。

　　二先進計數(shù)系統(tǒng)的出現(xiàn)

　　前面曾經(jīng)提到,獨立隨機過程的出現(xiàn)并不是概率論誕生的決定性因素。職稱論文僅有概率思想而不能將概率結果表達出來,也不能形成完整的理論。概率論是一門以計算見長的數(shù)學分支,計算過程中需要運用大量的加法和乘法原理(組合數(shù)學原理)進行純數(shù)字運算。對于現(xiàn)代人來說,概率計算并不是一件難事。但是對于16世紀以前的人來說,計算卻是十分困難的,原因就在于古代缺乏簡便的計數(shù)系統(tǒng)。當時的計數(shù)符號既繁瑣又落后,書寫和使用都很不方便,只能用來做簡單的記錄,一旦數(shù)目增大,運算復雜,這些原始的符號就盡顯弊端了。而沒有簡便的計數(shù)符號,進行概率計算將是十分困難的事,因此計數(shù)符號是否先進也在一定程度上決定著概率論的形成。

　　對于這一點,現(xiàn)代人可能不容易體會得到,究竟古代的計數(shù)符號復雜到什么程度呢?我們可以以古羅馬的計數(shù)系統(tǒng)為例來說明。

　　古羅馬的計數(shù)系統(tǒng)是一種現(xiàn)在最為人們熟悉的簡單分群數(shù)系,大約形成于紀元前后。羅馬人創(chuàng)造了一種由7個基本符號組成的5進與10進的混合進制記數(shù)法,即

　　IVXLCDM

　　1510501005001000

　　在表示其他數(shù)字時采取符號重復的辦法,如Ⅲ表示3,XX表示20,CC表示200等。但如果數(shù)字較大表示起來就相當復雜了,比如:1999=MDCCCCLXXXXVIIII

　　后來為了簡化這種復雜的表示法,羅馬人又引進了減法原則,即在一個較大的單位前放一個較小單位表示兩者之差,如Ⅳ表示4,CM表示900,則1999=MCMXCIX

　　如果要計算235×4=940,現(xiàn)代的豎式是

　　而公元8世紀時英國學者阿爾琴演算同一道題的過程則要復雜得多:古羅馬數(shù)字對于這樣一個既不含分數(shù)和小數(shù),數(shù)字又很簡單(只有三位數(shù))的乘法運算處理起來尚且如此復雜,可以想象,即使數(shù)學家有足夠的時間和耐心,要解決概率計算里涉及的大量純數(shù)字運算也是一件太耗費精力的事。在這種情況下想要作出成果,數(shù)學家們的時間不是用來研究理論而只能是忙于應付這些繁重的計算工作了。顯然古羅馬的計數(shù)系統(tǒng)并不適合于進行計算,而事實上,歐洲的代數(shù)學相比幾何學而言遲遲沒能發(fā)展起來,很大程度上也是由于受到這種落后的計數(shù)系統(tǒng)的限制。不僅僅是古羅馬數(shù)字,在人類文明史上出現(xiàn)過的其他幾種計數(shù)系統(tǒng)(如古埃及、古巴比倫等的計數(shù)系統(tǒng))也由于符號過于復雜,同樣不能承擔進行大量計算的任務。

　　相反,以位值制為基本原理的阿拉伯數(shù)字則比古羅馬數(shù)字以及古代其他的計數(shù)系統(tǒng)要先進得多,它不但書寫簡便,而且非常有利于加法、乘法的運算及小數(shù)和分數(shù)的表示。從上面的例子可以看出,它的使用可以大大節(jié)省運算時間,提高運算效率。正是由于使用了這種先進的計數(shù)符號,阿拉伯數(shù)字的發(fā)明者———古印度人的組合數(shù)學(組合數(shù)學原理是概率計算運用較多的一種數(shù)學工具)才得以領先歐洲人許多。據(jù)記載,印度人,特別是公元前三百年左右的耆那數(shù)學家就由于宗教原因開展了對排列與組合的研究。公元四百年,印度人就已經(jīng)掌握了抽樣與骰子之間的關系(比歐洲人早一千二百年)。而直到公元8世紀時,商業(yè)活動和戰(zhàn)爭才將這種先進的數(shù)字符號帶到了西班牙,這些符號又經(jīng)過了八百年的演化,終于在16世紀定型為今天的樣子。

　　數(shù)字符號的簡單與否對概率論究竟有什么樣的影響,我們不妨舉例說明:

　　問:有n個人,當n為多少時,至少有兩人生日相同的概率大于二分之一?

　　假設所有人生日均不相同的概率為P,則

　　P=(365/365)×(364/365)×?×[(365-n+1)/365]

　　而題中所求之概率P(n)=1-P=1-(365/365)×(364/365)×?×[(365-n+1)/365]

　　通過計算得出結論,當n=23時,P(n)=0.51>0.5,因此答案為23。

　　這是概率論中著名的“生日問題”,也是一種很典型的概率計算問題。從它的計算過程中我們不難看出,數(shù)字運算在概率論中占有重要的地位。如果使用古羅馬的計數(shù)法,這樣一個概率問題從表達到計算都會相當繁瑣,以至于它的求解幾乎是不可能的。

　　對于阿拉伯數(shù)字的偉大功績,大數(shù)學家拉普拉斯(Laplace)有如下評價:“用不多的記號表示全部的數(shù)的思想,賦予它的除了形式上的意義外,還有位置上的意義。它是如此絕妙非常,正是由于這種簡易難以估量??我們顯然看出其引進之多么不易。”[3]阿拉伯數(shù)字的出現(xiàn)為概率的表達和計算掃清了阻礙,如果沒有這些簡便的符號,概率論可能還只停留在概率思想的階段。正是由于使用了可以簡潔地表示分數(shù)和小數(shù)的阿拉伯數(shù)字,才使概率思想得以通過形式化的符號清晰地表現(xiàn)出來并逐漸形成理論體系。在概率論的孕育階段,這種形式化的過程是十分必要的,它使得對概率的理解和計算成為可能,因此先進的計數(shù)系統(tǒng)對概率論的形成和發(fā)展都起著重要的作用。

　　三概率論產(chǎn)生的方法論基礎———歸納法

　　除了需要具備上述因素以外,概率論的形成還需要具備歸納思維。概率論是一門具有明顯二重性的理論體系:“一方面它反映了從大量機遇現(xiàn)象中抽象出來的穩(wěn)定的規(guī)律性;另一方面它關系著人們對證明命題的證據(jù)或方法的相信程度”。[4]這兩方面特性都以歸納法作為最基本的研究方法,因此可以說,歸納法是概率論的方法論基礎,概率論的產(chǎn)生必須在歸納法被廣泛運用的前提下才成為可能。歸納法雖然是與演繹法同時存在的邏輯方法,但在文藝復興以前,占主導地位的推理方式是演繹思維(不具有擴展性),歸納思維是不受重視的。直到文藝復興運動以后,這種狀況才被打破。歸納法因其具有擴展性而逐漸成為進行科學發(fā)現(xiàn)的主導方法。

　　從演繹到歸納,這個過程實際上是一種思維方式的轉(zhuǎn)變過程,雖然轉(zhuǎn)變是在潛移默化中完成的,但轉(zhuǎn)變本身對概率論的出現(xiàn)卻起著決定性的作用。我們可以通過考察“概率論”(probability)一詞的詞根“可能的”(probable)來說明這種轉(zhuǎn)變。在古希臘“,probable”并不是今天的這個含義,它曾意味著“可靠的”或“可取的”,比如說一位醫(yī)生是“probable”就是指這位醫(yī)生是可以信賴的。但到了中世紀,這個詞的含義發(fā)生了變化,它已經(jīng)和權威聯(lián)系在一起了。當時的人們在判斷事情的時候不是依靠思考或證據(jù)而是盲目地相信權威,相信更早的先人所說的話。在這種情況下,如果說某個命題或某個事件是“probable”,就是說它可以被權威的學者或《圣經(jīng)》之類的權威著作所證明。而經(jīng)過了文藝復興之后,人們終于意識到對自然界進行探索(而不是崇拜權威)才是最有價值的事,正如伽利略所說的那樣:“當我們得到自然界的意志時,權威是沒有意義的。”[5]因此,“probable”才逐漸與權威脫離了關系。15、16世紀時它已經(jīng)具有了今天的含義“可能的”,不過這種可能性不再是權威而是基于人們對自然界的認識基礎之上的。

　　“probable”一詞的演化體現(xiàn)了人們認識事物方式的轉(zhuǎn)變過程。當然這并不是說,文藝復興以前沒有歸納思維。留學生論文當一個人看到天黑的時候他會自然想到太陽落山了,因為每天太陽落山后天都會黑。這種歸納的能力是與生俱來的,即使中世紀的人們思想受到了禁錮,這種能力卻還不至消失。而拋棄了權威的人們比先輩們的進步之處在于,他們是用歸納法(而不是演繹法)來研究自然界和社會現(xiàn)象的。他們將各種現(xiàn)象當作是自然或社會的“特征”,進而把特征看作是某種更深層的內(nèi)存原因的外在表現(xiàn)。通過使用歸納推理進行研究,他們就可以發(fā)現(xiàn)這些內(nèi)在原因,從而達到揭開自然界奧秘和了解社會運行規(guī)律的目的。于是在好奇心的驅(qū)使之下,歸納思維被充分地激發(fā)出來。而這一點恰恰是概率論得已實現(xiàn)的必要條件。從概率論的第一重特性中可以看出,概率論所研究的對象是大量的隨機現(xiàn)象,如賭博游戲中擲骰子的點數(shù),城市人口的出生和死亡人數(shù)等等。這些多數(shù)來自于人們社會活動的記錄都為概率論進行統(tǒng)計研究提供了必須的數(shù)據(jù)資料。雖然這些記錄的收集與整理其目的并不在于發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律,但善于運用歸納思維的人卻能從中挖掘出有價值的研究素材。例如,早在16世紀,意大利數(shù)學家卡爾達諾就在頻繁的賭博過程中發(fā)現(xiàn)了骰子的某些規(guī)律性并在《機遇博奕》一書中加以闡述;17世紀,英國商人J·格龍?zhí)赝ㄟ^對定期公布的倫敦居民死亡公告的分析研究,發(fā)現(xiàn)了死亡率呈現(xiàn)出的某種規(guī)律性[6];萊布尼茲在對法律案件進行研究時也注意到某個地區(qū)的犯罪率在一定時期內(nèi)趨向于一致性。如果沒有很好的歸納分析的能力,想要從大量繁雜的數(shù)據(jù)中抽象出規(guī)律是不可能的。而事實上,在17世紀60年代左右,歸納法作為一種研究方法已經(jīng)深入人心,多數(shù)科學家和社會學家都在不自覺地使用歸納的推理方法分析統(tǒng)計數(shù)據(jù)。除了上述兩人(格龍?zhí)睾腿R布尼茲)外,統(tǒng)計工作還吸引了如惠更斯、伯努利、哈雷等一大批優(yōu)秀學者。正是由于許多人都具備了運用歸納法進行推理的能力,才能夠把各自領域中看似毫無秩序的資料有目的地進行整理和提煉,并得到極為相似的結論:隨機現(xiàn)象并不是完全無規(guī)律的,大量的隨機現(xiàn)象的集合往往表現(xiàn)出某種穩(wěn)定的規(guī)律性。概率論的統(tǒng)計規(guī)律正是在這種情況下被發(fā)現(xiàn)的。

　　概率論的第二重特性同樣離不開歸納法的使用。既然概率論反映的是人們對證明命題的證據(jù)的相信程度(即置信度),那么首先應該知道證據(jù)是什么,證據(jù)從何而來。事實上,證據(jù)的獲得就是依靠歸納法來實現(xiàn)的。在對自然界特征的認識達到一定程度的情況下,人們會根據(jù)現(xiàn)有的資料作出一些推理,這個推理的過程本身就是歸納的過程。當假設被提出之后,所有可以對其合理性提供支持的材料就成了證據(jù),即證據(jù)首先是相對于假設而言的。如果沒有歸納法的使用,證據(jù)也就不存在了。由于歸納推理在前提為真的情況下不能確保結論必然為真,因此證據(jù)對假設的支持度總是有限的。在這種情況下,使用歸納推理得到的命題的合理性便不能得到充分的保障。而概率論的第二重特性就是針對這個問題的,證據(jù)究竟在多大程度上能夠為假設提供支持?這些證據(jù)本身的可信度有多少?為解決歸納問題而形成的概率理論對后來的自然科學和邏輯學的發(fā)展都起到了重要的作用。

　　歸納法的使用為概率論的形成提供了方法論基礎。它一方面使得概率的統(tǒng)計規(guī)律得以被發(fā)現(xiàn),另一方面,也使概率論本身具有了方法論意義。從時間上看,概率論正是在歸納法被普遍運用的年代開始萌芽的。因此,作為一種具有擴展性的研究方法,歸納法為概率論的誕生提供了堅實的思維保障和方法論保障,在概率論的形成過程中,這種保障具有不容忽視的地位。四社會需求對概率論形成的促進作用

　　與前面述及的幾點因素相比,社會因素顯然不能作為概率論產(chǎn)生的內(nèi)在因素,而只能被當作是一種外在因素。但從概率論發(fā)展的過程來看,作為一種與實際生活緊密相關的學科,其理論體系在相當大的程度上是基于對社會和經(jīng)濟問題的研究而形成的,因此對實際問題的解決始終是概率理論形成的一種外在動力。在這一點上,社會因素與概率理論形成了一種互動的關系，它們需要彼此相結合才能得到各自的良好發(fā)展。從17、18世紀概率論的初期階段來看,社會經(jīng)濟的需求對概率論的促進作用是相當巨大的[7]。

　　在社會需求中,最主要的是來自保險業(yè)的需求。保險業(yè)早在奴隸社會便已有雛型,古埃及、古巴比倫、古代中國都曾出現(xiàn)過集體交納稅金以應付突發(fā)事件的情形。到了14世紀,隨著海上貿(mào)易的迅速發(fā)展,在各主要海上貿(mào)易國先后形成了海上保險這種最早的保險形式。其后,火災保險、人壽保險也相繼誕生。各種保險雖形式各異,但原理相同,都是靠收取保金來分擔風險的。以海上保險為例,經(jīng)營海上貿(mào)易的船主向保險機構(保險公司)交納一筆投保金,若貨船安全抵達目的地,則投保金歸保險機構所有;若途中貨船遭遇意外而使船主蒙受損失,則由保險機構根據(jù)損失情況予以船主相應的賠償。這樣做的目的是為了將海上貿(mào)易的巨大風險轉(zhuǎn)由兩方(即船主與保險公司)共同承擔[8]。從這個過程中可以看出,對保險公司而言,只要船只不出事,那么盈利將是肯定的;對船主而言,即使船只出事,也可以不必由自己承擔全部損失。

　　從性質(zhì)上看,從事這種事業(yè)實際上就是一種賭博行為,兩方都面臨巨大風險。而這種涉及不確定因素的隨機事件恰恰屬于概率論的研究范圍。工作總結由于保險業(yè)是一項于雙方都有利的事業(yè),因此在16、17世紀得到了快速的發(fā)展,歐洲各主要的海上貿(mào)易國如英國、法國、意大利等都紛紛成立保險公司,以支持海上貿(mào)易的發(fā)展。此外還出現(xiàn)了專門為他人解決商業(yè)中利率問題的“精算師”。不過在保險業(yè)剛起步的時候,并沒有合理的概率理論為保金的制定提供指導,最初確定投保金和賠償金的數(shù)額全憑經(jīng)驗,因此曾經(jīng)出現(xiàn)過很長時間的混亂局面。而這樣做的直接后果就是不可避免地導致經(jīng)濟損失。例如在17世紀,養(yǎng)老金的計算就是一個焦點問題。荷蘭是當時歐洲最著名的養(yǎng)老勝地和避難場所,但其養(yǎng)老金的計算卻極為糟糕,以致政府連年虧損。這種狀況一直持續(xù)到18世紀,概率理論有了相當?shù)陌l(fā)展,而統(tǒng)計工作也日漸完善之后,情況才有所改觀[9]。在結合大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)的前提下,運用概率理論進行分析和計算,由此得到的結果才更有可能保證投資者的經(jīng)濟利益。

　　我們可以舉一個人壽保險的例子來說明概率理論是如何應用到保險事業(yè)中來的:2500個同年齡段的人參加人壽保險,每人每年1月交投保費12元。如果投保人當年死亡,則其家屬可獲賠2000元。假設參加投保的人死亡率為0.002,那么保險公司賠本的概率是多少?

　　從直觀上看,如果當年的死亡人數(shù)不超過15人,則保險公司肯定獲利,反之,則賠本。不過單憑經(jīng)驗是絕對不行的,必需有一套合理的理論來幫助處理此類問題。根據(jù)所給條件,每年的投保費總收入為2500×12=30000(元),當死亡人數(shù)n≥15時不能盈利。令所求之概率為P,由二項分布的計算公式可以得出P(n≥15)=0.000069。也就是說,如果按以上條件進行投保并且不出現(xiàn)特別重大的意外,則保險公司有幾乎百分之百的可能性會盈利。

　　這個問題就是通過將概率理論運用到關于人口死亡的統(tǒng)計結果之上從而得到解決的。這個簡單的例子告訴我們,概率理論對保險業(yè)的發(fā)展有著相當重要的指導作用。根據(jù)統(tǒng)計結果來確定在什么樣的條件下保險公司才能盈利是概率理論對保險業(yè)最主要的貢獻,它可以計算出一項保險業(yè)務在具備哪些條件的情況下會使保險公司獲得收益,并進而保證保險公司的經(jīng)營活動進入良性循環(huán)的軌道。從另一方面看,最初保險業(yè)的快速發(fā)展與其不具有基本的理論依據(jù)是極不協(xié)調(diào)的,這很容易導致保險公司由于決策失誤而蒙受經(jīng)濟損失。因此保險事業(yè)迫切需要有合理的數(shù)學理論作為指導。在當時的社會環(huán)境下,由科學家參與解決實際問題是非常有效的,而由保險所產(chǎn)生的實際問題確實曾吸引了當時眾多優(yōu)秀數(shù)學家的目光。在1700-1800年間,包括歐拉、伯努利兄弟、棣莫弗(deMoivre)、高斯等在內(nèi)的許多著名學者都曾對保險問題進行過研究,這些研究的成果極大地充實了概率理論本身。

　　可以說,經(jīng)濟因素和概率理論在彼此結合的過程中形成了良好的互動關系,一方面數(shù)學家們可以運用已有的理論解決現(xiàn)實問題。另一方面,新問題的出現(xiàn)也大大刺激了新理論的誕生。概率論的應用為保險業(yè)的合理化、規(guī)范化提供了保證,正是由于有了概率論作理論指導,保險業(yè)的發(fā)展才能夠步入正軌。反過來,保險業(yè)所出現(xiàn)的新的實際問題,也在客觀上促進了概率理論的進一步完善。這樣,對于概率論的發(fā)展來說,保險業(yè)的需求便順理成章地成為了一個巨大的動力。

　　五總結

　　概率論的產(chǎn)生就像它的理論那樣是一種大量偶然因素結合作用下的必然結果。首先,賭博這種機遇游戲提供了一種良好的獨立隨機過程,在進行賭博的過程中,最原始的概率思想被激發(fā)出來;其次,先進的計數(shù)系統(tǒng)為概率思想的表達掃清了阻礙,也使得這些思想得以形式化并形成系統(tǒng)的理論。當然在獲得概率思想的過程中,思維方式的轉(zhuǎn)變和研究方法的進步才是最根本的關鍵性條件。如果沒有歸納法的使用,即使存在著良好的獨立隨機過程也不可能使人們認識到大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)中所隱藏著的規(guī)律性。此外,社會經(jīng)濟的發(fā)展,需要借助數(shù)學工具解決許多類似保險金的計算這樣的實際問題,而這些吸引了眾多優(yōu)秀數(shù)學家們興趣的問題對于概率論的形成是功不可沒的,它大大刺激了概率理論的發(fā)展,使概率論的理論體系得到了極大的完善。上述四個因素都是概率論產(chǎn)生的重要條件,但是它們彼此之間并沒有明顯的時間上的先后順序,最初它們的發(fā)展是各自獨立的,但是隨后這些條件逐漸結合在一起,使得原本零散的概率思想開始系統(tǒng)化、條理化。從概率論的歷史來看,這幾種因素的結合點就是17世紀末至18世紀初,因此概率論在這個時間誕生是很自然的事。

　　了解概率論的產(chǎn)生條件對于我們理解概率論在當今社會的重大意義有很好的幫助。今天,隨著概率理論的廣泛應用,它已不僅僅是一種用于解決實際問題的工具,而上升為具有重大認識論意義的學科。概率論不僅改變了人們研究問題的方法,更改變了人們看待世界的角度。這個世界不是絕對必然的,它充斥著大量的偶然性,所謂規(guī)律也只是在相當?shù)某潭壬媳晃覀兯邮芎托湃蔚拿}而已。運用概率,我們就可以避免由歸納法和決定論帶來的許多問題和爭論?？茖W發(fā)現(xiàn)的確需要偶然性,現(xiàn)代科學向我們證明,概率理念和概率方法已經(jīng)成為進行科學研究的一項重要手段。

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　　概率論論文

　　摘要:惠更斯是概率論學科的奠基者之一。其《論賭博中的計算》是第一部概率論著作,該書首次提出數(shù)學期望的概念,創(chuàng)立了“惠更斯分析法”,第一次把概率論建立在公理、命題和問題上而構成一個較完整的理論體系。

　　關鍵詞:點子問題概率論惠更斯遞推法數(shù)學期望

　　在紀元之初,民間就流行用抽簽來解決人們彼此間的爭端,這可能是最早的概率應用。隨著社會的發(fā)展,隨機現(xiàn)象愈來愈左右著人類的生活。因而在不確定性因素的情境中,尋找行為的理性規(guī)則,使理性服從機遇的愿望成為數(shù)學家研究的課題之一。直到文藝復興時期,隨機世界依然撲朔迷離、不能辨析。作為研究隨機現(xiàn)象的概率論出現(xiàn)在17世紀中葉,象征著概率論誕生的標志,就是克里斯蒂安·惠更斯(christianhuy-gens,1629-1695)在1657年發(fā)表的《論賭博中的計算》(onreckoningatgamesofchance)一文。

　　一、論文的來源

　　惠更斯1629年誕生于海牙的一個富豪之家。其父知識淵博,擅長數(shù)學研究,同時又是一杰出的詩人和外交家?；莞箯男∈艿搅烁赣H的熏陶,喜歡學習和鉆研科學問題。16歲進入萊頓大學學習,后轉(zhuǎn)到布雷達大學學習法律和數(shù)學。26歲獲得法學博士學位。數(shù)學老師范·舒藤(fransvansehooten)指導他學習當時的著名數(shù)學家、哲學家卡卡維(carcavi)的數(shù)學著作及其哲學著作。惠更斯從中感悟到數(shù)學的奧妙而對數(shù)學很感興趣。1650—1666年期間,他大多時間在家中潛心研究光學、天文學、物理學和數(shù)學等領域,成果顯著,一舉成為當時聞名遐邇的科學家。

　　除去在光學、天文學等領域的貢獻外,惠更斯也有出眾的數(shù)學才能,可謂是一個解題大師,早在22歲時就寫出關于計算圓周長、橢圓弧及雙曲線的論文。他發(fā)現(xiàn)了許多數(shù)學技巧,解決了大量數(shù)學問題。如他改進了計算π值的經(jīng)典方法;繼續(xù)笛卡爾、費馬和帕斯卡的工作,對多種平面曲線,如懸鏈線、曳物線、對數(shù)螺線、旋輪線等都進行過研究;對許多特殊函數(shù)求得其面積、體積、重心及曲率半徑等,某些方法與積分方程的積分法相似。伯努利兄弟對惠更斯的研究極為佩服,尤其是約翰(johnbernoulli,1667—1748)發(fā)現(xiàn)旋輪線也是最速降線時甚是激動。他說:“這惠更斯等時曲線(旋輪線)就是我們正在尋求的最速降線!我感到十分驚奇!”惠更斯在數(shù)學方面的最大貢獻,就是以《論賭博中的計算》一文奠基了概率論的基礎。

　　1654年,賭徒梅勒向當時的“數(shù)學神童”帕斯卡(b1pascal,1623-1662)提出了其在賭場上遇到的幾個不解問題。后帕斯卡與費馬(pierredefermat,1601-1665)以通信的方式對這些問題進行了較為詳盡的討論,并將其推廣到一般情形,這就使概率計算由單純計數(shù)而轉(zhuǎn)向更為精確的階段,但二人都不愿意發(fā)表研究成果,故有關概率知識沒有得到及時傳播。

　　1655年秋,惠更斯第一次訪問巴黎。他遇到羅貝瓦爾(g1p1deroberval)及梅勒恩(mylon),但沒有見到帕斯卡和費馬。他獲知去年有一場關于概率問題的討論,但不知其具體解決方法及結果。由于羅貝瓦爾對此問題毫無興趣,因而惠更斯對費馬和帕斯卡的討論結果幾乎一無所知。

　　1656年4月,回國后的惠更斯自己解決了這些概率問題,并將其手稿送給范·舒藤審閱,同時寫信給羅貝瓦爾,尋求幾個概率問題的解答。此時范·舒藤正在籌印其《數(shù)學習題集》,因而他建議惠更斯將此文印刷發(fā)表,并親自替學生將該文譯成拉丁文。由于惠更斯沒有收到羅貝瓦爾的信,便又寫信給梅勒恩,并通過卡卡維將信轉(zhuǎn)給費馬。在1656年6月22日費馬的回信中,給出與惠更斯相一致的解決方案,但無證明過程。此外,費馬又向惠更斯提出了5個概率問題。閱信后,惠更斯很快解出這些問題,并把其中2個問題收錄在著作中。他于7月6日將結果送給卡卡維讓其轉(zhuǎn)給梅勒恩、帕斯卡和費馬確定解答正確與否?？ňS在9月28日的回信中肯定了惠更斯的解答,并給出帕斯卡與費馬對點子問題的解決方案,但無證明。惠更斯在10月12日給卡卡維的回信中也提出了一個無證明的解決方法。

　　1657年3月在最后一次校訂時,惠更斯將其論文增加為9個命題和5個問題,形成了《論賭博中的計算》的基本構架?；莞惯€將給范·舒藤的一封信作為該文的前言,這篇前言形成了全文的思想基礎。他在其中明確地提出:“盡管在一個純粹運氣的游戲中結果是不確定的,但一個游戲者或贏或輸?shù)目赡苄詤s可以確定。”〔1〕可能性用的是“probability”,其意義與今天的概率幾無差別?；莞沟倪@種思想使得“可能性”成為可以度量、可以計算、具有客觀實際意義的概念。信中惠更斯強調(diào)了這一新理論的重要性:“我相信,只要仔細研究這個課題,就會發(fā)現(xiàn)它不僅與游戲有關,而且蘊含著有趣而深刻的推理原則。”并惋惜地說“,法國的杰出數(shù)學家已經(jīng)解決了這些問題,無人會把這個發(fā)明權授予給我。”其內(nèi)容被編排在范·舒藤之書的519-534頁。該書出版于1657年9月,而荷蘭文版出版于1660年,英文版出版于1692年,德文版出版于1899年,法文版出版于1920年,意大利文版出版于1984年。

　　二、創(chuàng)立數(shù)學期望

　　《論賭博中的計算》的寫作方式很像一篇現(xiàn)代的概率論論文。先從關于公平賭博值的一條公理出發(fā),推導出有關數(shù)學期望的三個基本定理,利用這些定理和遞推公式,解決了點子問題及其他一些博弈問題。最后提出5個問題留給讀者解答,并僅給出其中的3個答案。通常所謂惠更斯的14個命題,指的就是書中3條定理加上11個問題。

　　公理:每個公平博弈的參與者愿意拿出經(jīng)過計算的公平賭注冒險而不愿拿出更多的數(shù)量。即賭徒愿意押的賭注不大于其獲得賭金的數(shù)學期望數(shù)〔2〕。

　　對這一公理至今仍有爭議。所謂公平賭注的數(shù)額并不清楚,它受許多因素的影響。但惠更斯由此所得關于數(shù)學期望的3個命題具有重要意義。這是數(shù)學期望第一次被提出,由于當時概率的概念還不明確,后被拉普拉斯(p1s1m1delaplace,1749—1827)用數(shù)學期望來定義古典概率。在概率論的現(xiàn)代表述中,概率是基本概念,數(shù)學期望則是二級概念,但在歷史發(fā)展過程中卻順序相反。

　　關于數(shù)學期望的三個命題為:

　　命題1若在賭博中獲得賭金a和b的概率相等,則其數(shù)學期望值為(a+b)p21

　　命題2若在賭博中獲得賭金a、b和c的概率相等,則其數(shù)學期望值為(a+b+c)p31

　　命題3若在賭博中分別以概率p和q(p≥0,q≥0,p+q=1)獲得賭金a和b,則獲得賭金的數(shù)學期望值為pa+qb1

　　這些今天看來都可作為數(shù)學期望定義。但對惠更斯來說,必須給出演繹證明,因當時對數(shù)學的一種公認處理方法是從盡可能少的公理推導其他內(nèi)容?；莞顾o的命題1證明為:

　　假設在一公平的賭博中,勝者愿意拿出部分賭金分給輸者。若二人的賭注均為x,勝者給輸者的為a,因而所剩賭金為2x-a=b,故x=(a+b)p2。

　　帕斯卡與費馬在通信中所說的“值”等于賭注乘以獲勝的概率,因而已于概率無本質(zhì)區(qū)別。而惠更斯在這里將“值”改稱為“數(shù)學期望”是一個進步(在該書荷蘭版中,惠更斯仍沿用“值”的概念)。

　　將命題3推廣便得到今日數(shù)學期望的定義。因此惠更斯當之無愧是數(shù)學期望概念的奠基人。

　　三、求解點子問題

　　所謂點子問題是:甲乙二人賭博,其技巧相當,約定誰先勝s局則獲全部賭金。若進行到甲勝s1局而乙勝s2局時(s1<s,s2<s),因故停止,賭金應如何分配才公平?

　　惠更斯深刻認識到點子問題的重要性,因而在其著作中有6個命題討論了該問題。命題4-7都是有關二人的點子問題,而命題8和命題9將問題推廣到三人及若干個人。

　　惠更斯的解決思路為:賭徒分得賭注的比例等于其獲勝的概率。他假設賭徒在每局獲勝的概率不變,且各局間相互獨立。這樣就可以歸結為一般問題:

　　設隨機試驗中某隨機事件每次成功的概率為p,重復獨立進行該試驗若干次,求在b次失敗前取得a次成功的概率。

　　惠更斯認識到點子問題的關鍵與已勝局數(shù)無關,而與離全勝所差局數(shù)相關。設甲離全勝所差局數(shù)為a=s-s1,而乙為b=s-s2,則至多再進行的局數(shù)為a+b-1。由全概率公式得一有限差分方程而解之。

　　命題4-7分別為(a,b)=(1,2),(1,3),(2,3),(2,4)。

　　點子問題推廣后可應用于當今一些體育比賽問題。如甲、乙兩隊進行某種比賽,已知每局甲勝的概率為016,乙勝的概率為014。可采用3局2勝制或5局3勝制進行比賽,問哪種比賽制度對甲有利?點子問題可轉(zhuǎn)化為古典概型中的三大概型之一的摸球問題。即從裝有m個白球n個黑球的袋子中有放回摸球,求在摸到a次黑球前摸到b次白球的概率。由此又可以轉(zhuǎn)化為大量的應用問題。二項分布、幾何分布、負二項分布等常見離散型分布均可由點子問題引申出來,所以點子問題的圓滿解決是概率論誕生的標志之一。

　　當時梅勒問帕斯卡的另一個問題是:據(jù)經(jīng)驗知,一顆骰子連擲4次“至少出現(xiàn)一個6點”的概率大于1p2;兩顆骰子擲一次的結果6倍于一顆骰子擲一次的結果,那么,兩顆骰子擲24次“至少出現(xiàn)一對6點”的概率也應大于1p2,但賭場的經(jīng)驗并非如此,應如何解釋?!梅勒憤怒地譴責數(shù)學,粗暴地斷言,算術是自相矛盾的。惠更斯對此也進行了深刻討論,并將其分解成如下三個命題。

　　命題10一顆骰子連擲多少次有利于“至少出現(xiàn)一個6點”?

　　命題11兩顆骰子連擲多少次有利于“至少出現(xiàn)一對6點”?

　　命題12一次擲多少顆骰子有利于“至少出現(xiàn)一對6點”?

　　惠更斯利用命題3及遞推法圓滿解決了上述問題。

　　四、獨創(chuàng)分析法

　　在《論賭博中的計算》的最后兩個命題中,惠更斯創(chuàng)立了著名的“惠更斯分析法”來解決概率問題。

　　命題13甲、乙二人賭博,將兩顆骰子擲一次,若其點子和為7則甲贏,為10則乙勝,為其它點則平分賭注。試求二人分配賭注的比例。

　　命題14a,b二人輪流擲兩顆均勻的骰子,若a先擲出7點,則a勝;若b先擲出6點,則b勝。b先擲,求a獲勝的概率。

　　對命題14,惠更斯的解法為:設全部賭注為t,a的期望為x,則b的期望為t-x,則當b擲時,a的期望為x;當a擲時,a的期望為y。因每次投擲時,a的獲勝概率為6p36,b的獲勝概率為5/36,由命題3得5/36×0+31/36y=x6/36t+30/36x=y。

　　解得x=31t/36即a獲勝的概率為31/36。

　　這個問題的求解與前面的方法不同,通過列代數(shù)方程來求解,這是惠更斯的獨創(chuàng),該方法后被雅可布(jacobbernoulli,1654—1705)稱之為“惠更斯分析法”〔4〕?；莞箾]有給出進一步的討論,但按其思想可得更一般解法?？梢?惠更斯從數(shù)學期望入手,明確給出了概率的客觀意義,但他的概率計算全是通過期望來進行的。從期望出發(fā)解釋概率,與以概率定義期望的現(xiàn)代概率論恰恰相反。因此,惠更斯的概率思想值得探究。

　　五、惠更斯的5個問題

　　惠更斯的最后5個問題,雖也都是在形形色色的賭博機制中,計算一方取勝的概率,但在概率論誕生初期,這無疑是向同時代數(shù)學家的挑戰(zhàn)〔5〕。他說:“給我的讀者(如果有的話)留下一些思考題應該是有益的,這將供他們練習或者打發(fā)時間。”

　　問題1兩人玩擲雙骰子游戲。若a擲出6點則贏,而b擲出7點勝。a先擲一次后,b擲二次,a再擲二次,如此下去直至一方獲勝。a與b的勝負比是多少?(答案:10355比12276)

　　該問題是費馬在1656年6月向惠更斯提出的,顯然它是命題14的推廣。在1656年7月6日惠更斯寫給卡卡維的信中提到問題解決方案。

　　問題2一袋中裝有4個白球8個黑球,3人蒙住眼睛輪流摸球。先得白球者獲勝,求三人獲勝的機會比。

　　惠更斯在其1665年的筆記中給出問題答案為9∶6∶4。

　　問題3有40張牌,每種花色10張。甲同乙打賭他能抽出花色不同的4張牌,每人投的賭注應是多少?(答案:1000∶8139)

　　這個問題由費馬在1656年6月向惠更斯提出,在1656年7月6日惠更斯寫給卡卡維的信中提出問題解決方案。

　　問題4一袋中裝有4個白球8個黑球,甲同乙打賭他能在摸出的7個球中含有3個白球。求二人獲勝的機會比。

　　惠更斯在其1665年的筆記中記錄著這個問題的答案為35∶99。

　　問題5二人玩擲三顆骰子游戲,甲乙各有12個籌碼,若擲出11點,甲給乙一個籌碼,而擲出14點,則乙給甲一個籌碼,直至兩人中有一人輸光。求甲乙獲勝的機會比。(答案:244140625∶282429536481)

　　這個問題就是著名的賭徒輸光問題,也叫具有兩個吸收壁的隨機游動問題。它由帕斯卡向費馬提出,后卡卡維于1656年9月28日的信中告知惠更斯,其中含有帕斯卡和費馬的解答。惠更斯在1656年10月12日給卡卡維的回信中提出自己的解法,其證明過程可在其1676年的讀書筆記中發(fā)現(xiàn)。

　　六、歷史評價

　　到17世紀時,不少學者已對賭博中的某些問題進行了討論,并挖掘了其中的數(shù)學原理。但對當時的大多數(shù)學家來說,概率論是庸俗的賭博游戲,難登大雅之堂。正是社會的發(fā)展及其需要,才推動了概率論的發(fā)展。如果沒有社會的需要,概率論至今恐怕仍然只能在牌桌上顯示神通。“概率論產(chǎn)生于賭博”,這個觀點是錯誤的或者說是不完全對的。“賭博問題”和“理性思考”是概率論產(chǎn)生的兩個必要條件,而后者更重要。猶如蘋果落地千千萬,而只有牛頓從中發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律。

　　不少學者錯誤地認為,帕斯卡、費馬和惠更斯三人一起討論了概率問題,而后者僅是將前二者的結果著書立說。從該書的撰寫過程來看,惠更斯幾乎全是自己獨立解決的這些概率問題,雖帕斯卡、費馬間接給他提供了一些問題,但均無解答過程。概率史界認為,帕斯卡與費馬的通信標志著概率論的誕生。然而他們的通信直至1679年才完全公布于世,故惠更斯的《論賭博中的計算》標志著概率論的誕生。因此,不少學者宣稱惠更斯為概率論的正式創(chuàng)始人?；莞沟摹墩撡€博中的計算》不僅是第一部概率論著作,而且是第一個把該學科建立在公理、命題和問題上而構成一個較完整的理論體系,第一次對以前概率論知識系統(tǒng)化、公式化和一般化。該書為概率論的進一步發(fā)展奠定了堅實的基礎〔6〕。

　　1657年9月《論賭博中的計算》出版后立即得到學術界的認可和重視。該書在歐洲多次再版,作為概率論的標準教材長達50年之久。直至1713年雅可布的《猜度術》出版才遏制住該書的再版,然而該書的影響還在繼續(xù)。因《猜度術》的第一卷就是《論賭博的計算》的注釋,并籍此建立了第一個大數(shù)定理。法國數(shù)學家棣莫弗(a1demoiver,1667—1754)的《機會學說》也是在該書的基礎上,由二項分布的逼近得到了正態(tài)分布的密度函數(shù)表達式。拉普拉斯在此基礎上給出古典概率的定義。因此,惠更斯的概率思想對古典概率的影響是重要而持久的,其方法可以看作那一時期的特點。但是,至于什么是“理想理論”,需要考慮它的歷史發(fā)展階段,不能苛求古人,也不能執(zhí)于一偏。

　　盡管惠更斯的《論賭博中的計算》已出版300余年了,但其科學的思想方法已跨越時空在數(shù)學教育尤其是概率論的學習中散發(fā)著無窮的力量。了解其內(nèi)容有助于我們學習和應用概率論這一重要的數(shù)學分支。正如拉普拉斯所說“一門開始于研究賭博機會的科學,居然成了人類知識中最重要的學科,這無疑是令人驚訝的事情。”〔參考文獻〕

　　〔1〕c1huygens.deratiociniisinludoaleae〔m〕.elseviriileiden,1657.reprintedenglishtranslationbyarbuthnott,1692.

　　〔2〕李文林等譯1數(shù)學史通論〔m〕.北京:高等教育出版社,2004,2.

　　〔3〕andershald1ahistoryofprobabilityandstatisticsandtheirapplicationbefore1750〔m〕.awiley-intersciencepublication.1990.

　　〔4〕l.j.daston1probabilisticexpectationandrationalityinclassicalprobabilitytheory1historiamathematica〔j〕(1980),vol17,pp234?260.

　　〔5〕todhunter.i.ahistoryofthemathematicaloftheoryofprobabilityfromthetimesofpascaltothatoflaplace〔m〕.newyork:chelsea,1965.

　　〔6〕徐傳勝1概率論簡史1數(shù)學通報〔j〕.10(2004):36?39.

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